\hbadness=10000\tolerance=10000
\hsize=10.2cm \vsize=26cm\voffset=-1.04cm


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\centerline{\bf Vorwort f\"ur den Lernenden.}
\bigskip

1. Bitte lies nicht das nachstehende Vorwort f\"ur den Kenner!

2. Ich setze nur logisches Denken und die deutsche Sprache
als bekannt voraus; nichts aus der Schulmathematik oder gar der
h\"oheren Mathematik.

Um Einw\"anden vorzubeugen: {\bf Eine} Zahl, {\bf keine} Zahl, {\bf zwei}
F\"alle, {\bf alle} Dinge aus einer gegebenen Gesamtheit u.~a.~m.\ sind
klare Wortgebilde der deutschen Sprache.  Satz 1, Satz 2, \dots,
Satz 301 (desgleichen bei Axiomen, Definitionen, Kapiteln, Paragra%
phen) oder 1), 2) u.~dgl.\ bei Fallunterscheidungen sind Marken, die
die S\"atze, Axiome, \dots, F\"alle unterscheiden und bei Nachschlagungen
bequemer sind, als wenn ich etwa von Satz Hellblau, Satz Dunkel%
blau u.~dgl.\ redete.  Bis ``301'' w\"urde \"uberhaupt die Einf\"uhrung
der sogenannten positiven ganzen Zahlen keine Schwierigkeit machen;
die erste -- in Kap.~1 \"uberwundene -- Schwierigkeit liegt in der
positiven ganzen Zahlen
$$1, \ldots$$
mit der geheimnisvollen Punktreihe hinter dem Komma (in Kap.~1
nat\"urliche Zahlen genannt), in der Definition der mit ihnen anzu%
stellenden Rechenoperationen und den Beweisen der zugeh\"origen
S\"atze.

Ich entwickle nacheinander alles Entsprechende in Kap.~1 f\"ur
die nat\"urlichen Zahlen, in Kap.~2 f\"ur die positiven Br\"uche und
positiven rationalen Zahlen, in Kap.~3 f\"ur die positiven (rationalen
und irrationalen) Zahlen, in Kap.~4 f\"ur die reellen Zahlen (positive,
negative und Null), in Kap.~5 f\"ur die komplexen Zahlen: ich spreche
also nur von solchen Zahlen, mit denen Du Dich schon in der Schule
besch\"aftigt hast.

In diesem Sinne:

3. Bitte vergi{\ss} alles, was Du auf der Schule gelernt hast;
denn Du hast es nicht gelernt.

Bitte denke bei allem an die entsprechenden Stellen des Schul%
pensums; denn Du hast es doch nicht vergessen.

4. Das kleine Einmaleins, bereits der Satz
$$2 \cdot 2 = 4,$$
kommt nicht vor; ich empfehle Dir aber als \"Ubungsaufgabe zu
Kap.~1, {\S}~4,
$$\eqalign{2 &= 1 + 1,\cr
4 &= \bigl((1 + 1) + 1\bigr) + 1\cr}$$
zu definieren und jenen Satz zu beweisen.

5. Entschuldige, da{\ss} ich Dich duze; dies geschieht nicht nur,
weil man den Leser mit ``lies'' und ``siehe'' anzureden pflegt, son%
dern weil dies Buch zum Teil in usum delphinarum geschrieben
ist, indem meine T\"ochter bekanntlich (siehe {\sl E.~Landau,} {\it Vor%
lesungen \"uber Zahlentheorie,} Bd.~1, S.~V) schon mehrere Semester
studieren (Chemie), schon auf der Schule Differential- und Integral%
rechnung gelernt zu haben glauben und heute noch nicht wissen,
warum
$$x \cdot y = y \cdot x$$
ist.
\bigskip

{\sl Berlin,} den 28.~Dezember 1929.
\bigskip

\rightline{\bf Edmund Landau.}
\vfill\eject


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\centerline{\bf Vorwort f\"ur den Kenner.}
\bigskip

Dies B\"uchlein ist eine Konzession an die (leider in der Mehr%
zahl befindlichen) Kollegen, welche meinen Standpunkt in der fol%
genden Frage {\bf nicht} teilen.

W\"ahrend auf der Schule naturgem\"a{\ss} auf strengen und l\"ucken%
losen Aufbau der Elementarmathematik verzichtet werden mu{\ss},
soll der mathematische Hochschulunterricht den H\"orer nicht nur
mit dem Stoff und den Ergebnissen, sondern auch mit den Beweis%
methoden bekannt machen.  Auch wer Mathematik haupts\"achlich
f\"ur die Anwendungen auf Physik und andere Wissenschaften lernt,
also vielfach sich selbst weitere mathematische Hilfss\"atze zurecht%
legen mu{\ss}, kann auf dem betretenen Pfade nur dann sicher weiter%
schreiten, wenn er gehen gelernt hat, d.~h.\ zwischen falsch und
wahr, zwischen Vermutungen und Beweisen (oder, wie manche so
sch\"on sagen, zwischen unstrengen und strengen Beweisen) unter%
scheiden kann.

Darum finde ich es -- im Anschlu{\ss} an einige meiner Lehrer
und Kollegen, an einige Autoren, aus deren Schriften ich gesch\"opft
habe, und an die meisten meiner Sch\"uler -- richtig, da{\ss} der Stu%
dierende bereits im ersten Semester lernt, auf welchen als Axiomen
angenommenen Grundtatsachen sich l\"uckenlos die Analysis aufbaut
und wie dieser Aufbau begonnen werden kann.  Bei der Wahl
der Axiome kann man bekanntlich verschieden verfahren; ich er%
kl\"are es also nicht etwa f\"ur falsch, sondern f\"ur meinem pers\"onlichen
Standpunkt fast diametral entgegengesetzt, wenn man f\"ur reelle
Zahlen zahlreiche der \"ublichen Rechengesetze und den {\sl Dedekind\/}%
schen Hauptsatz 205 der folgenden Schrift als Axiome postuliert.
Gewi{\ss} beweise ich nicht die Widerspruchslosigkeit der f\"unf {\sl Peano\/}%
schen Axiome (weil man es n\"amlich nicht kann); aber jedes der%
selben ist offenkundig von den vorigen unabh\"angig.  Andrerseits
dr\"angt sich bei jener erweiterten Zahl von Axiomen dem Lernenden
sofort die Frage auf, ob sich nicht so manches darunter aus dem
Vorangehenden beweisen (ein Schlauer w\"urde hinzuf\"ugen: oder
widerlegen) l\"a{\ss}t; und da man seit vielen Jahrzehnten die Beweis%
barkeit aller dieser Dinge kennt, ist es dem Lernenden wirklich
zu g\"onnen, da{\ss} er die (durchweg ganz leichten) Beweise zu Beginn
seines Studiums lernt.

Ich will gar nicht erst ausf\"uhrlich dar\"uber reden, da{\ss} vielfach
nicht einmal der {\sl Dedekind\/}sche Hauptsatz (oder sein gleich%
wertiges Surrogat bei Begr\"undung der reellen Zahlen durch Funda%
mentalreihen) zugrunde gelegt wird; so da{\ss} dann Dinge wie der
Mittelwertsatz der Differentialrechnung, der hierauf fu{\ss}ende Satz,
da{\ss} eine Funktion mit in einem Intervall verschwindender Ab%
leitung dort konstant ist, oder z.~B.\ der Satz, da{\ss} eine best\"andig
fallende, beschr\"ankte Folge von Zahlen gegen einen Grenzwert
strebt, ohne jeden Beweis erscheinen oder, was noch schlimmer ist,
mit einem vermeintlichen Beweis, der keiner ist.  Die Anzahl der
Vertreter dieser extremen Spielart des anderen Standpunktes scheint
mir nicht nur monoton zu fallen; sondern der Grenzwert, dem diese
Anzahl nach dem oben genannten Satze zustrebt, ist vielleicht so%
gar Null.

Aber mit einer Begr\"undung der nat\"urlichen Zahlen wird nur
selten angefangen.  Auch ich gestehe, da{\ss} ich von jeher nicht
unterlie{\ss}, nach {\sl Dedekind\/} die Theorie der reellen Zahlen durch%
zunehmen, fr\"uher aber die Eigenschaften der ganzen und der ratio%
nalen Zahlen voraussetzte.  Die drei letzten Male zog ich allerdings
vor, mit den ganzen Zahlen zu beginnen.  Einmal und auch f\"ur
das kommende Sommersemester als Konzession gegen die Zuh\"orer,
die doch gleich differentiieren wollen oder gar die ganze Erl\"aute%
rung des Zahlbegriffs nicht im ersten Semester (oder wom\"oglich
\"uberhaupt nicht) lernen wollen, habe ich allerdings meine Vor%
lesung in zwei gleichzeitige geteilt, deren eine ``Grundlagen der
Analysis'' hie{\ss}.  In dieser gelange ich, von den {\sl Peano\/}schen
Axiomen der nat\"urlichen Zahlen ausgehend, bis zur Theorie der
reellen Zahlen und der komplexen Zahlen; \"ubrigens braucht der
H\"orer die komplexen Zahlen im ersten Semester noch nicht; aber
deren Einf\"uhrung ist ja ganz einfach und l\"a{\ss}t sich m\"uhelos gleich
anbringen.

Nun gibt es in der ganzen Literatur kein Lehrbuch, das sich
das bescheidene Ziel setzt, {\bf nur} das Rechnen mit Zahlen im obigen
Sinne zu begr\"unden.  Und auch die umfangreichen Werke, in denen
dies in den einleitenden Kapiteln unternommen wird, \"uberlassen
dabei (bewu{\ss}t oder unbewu{\ss}t) so manches dem Leser.

{\bf Diese} Schrift -- wenn sie von ihm f\"ur passend befunden
wird -- soll jedem Kollegen der anderen p\"adagogischen Richtung,
der also die Grundlagen nicht durchnimmt, wenigstens die M\"og%
lichkeit geben, auf eine Quelle zu verweisen, wo das Fehlende und
nur das Fehlende in l\"uckenlosem Zusammenhang dargestellt ist.
Die Lekt\"ure ist ganz leicht, wenn man -- was ja der Fall ist --
schon in der Schule die Ergebnisse erfahren hat und wenn man
\"uber die abstrakten vier oder f\"unf ersten Seiten hinweggekommen ist.

Ich trete mit Z\"ogern mit dieser Schrift an die \"Offentlichkeit,
weil ich damit \"uber ein Gebiet publiziere, in dem ich (au{\ss}er einer
m\"undlichen Mitteilung von Herrn {\sl Kalm\'ar\/}) nichts Neues zu sagen
habe; aber ein anderer hat sich meine, zum Teil langweilige M\"uhe
nicht gemacht.

Den definitiven Ansto{\ss} zu dieser ``Flucht in die \"Offentlichkeit''
hat aber ein konkreter Vorfall gegeben.

Die andere Richtung meint immer, w\"ahrend des sp\"ateren Ver%
laufes des Studiums w\"urde der Sch\"uler an Hand einer Vorlesung
oder der Literatur die Sache schon lernen.  Und keiner jener
meiner verehrten Freunde und Feinde w\"urde bezweifelt haben, da{\ss}
z.~B.\ in meinen Vorlesungen sich alles N\"otige findet.  Auch ich
glaubte das.  Und nun passierte mir folgendes schreckliche Aben%
teuer.  An Hand meines Kollegheftes las mein damaliger Assistent
und lieber Kollege Privatdozent Dr.~{\sl Grandjot\/} (jetzt Professor
an der Universit\"at Santiago) \"uber Grundlagen der Analysis und
gab mir mein Manuskript mit dem Bemerken zur\"uck, er h\"atte es
f\"ur notwendig befunden, zu den {\sl Peano\/}schen Axiomen im weiteren
Verlaufe andere hinzuzuf\"ugen, da der \"ubliche Weg, den ich ge%
gangen war, eine bestimmte L\"ucke aufweise.  Ehe ich auf die
Einzelheiten eingehe, will ich gleich vorgreifend erw\"ahnen:

1. {\sl Grandjot\/}s Einwand war berechtigt.

2. Axiome, die nicht zu Anfang des Ganzen aufgez\"ahlt werden
k\"onnen (weil sie an sp\"atere Begriffe ankn\"upfen), sind sehr be%
dauerlich.

3. {\sl Grandjot\/}s Axiome sind (wie wir schon von {\sl Dedekind\/}
h\"atten leruen k\"onnen) alle beweisbar, und es bleibt (s.\ die ganze
folgende Schrift) bei den {\sl Peano\/}schen Axiomen.

Es sind drei Stellen, an denen der Einwand Platz greift:

I. Bei der Definition von $x + y$ f\"ur nat\"urliche Zahlen.

II. Bei der Definition von $x \cdot y$ f\"ur nat\"urliche Zahlen.

III. Bei der Definition von $\sum_{n = 1}^m x_n$ und $\prod_{n = 1}^m x_n$, nachdem man
f\"ur irgend ein Zahlgebiet $x + y$ und $x \cdot y$ schon hat.

Da alle drei Male die Sache analog liegt, spreche ich hier
nur von $x + y$ f\"ur nat\"urliche Zahlen $x$, $y$.  Wenn ich etwa in einer
Vorlesung \"uber Zahlentheorie irgend einen Satz \"uber nat\"urliche
Zahlen so beweise, da{\ss} ich erst die Richtigkeit f\"ur $1$ und dann
aus der Richtigkeit f\"ur $x$ die f\"ur $x + 1$ beweise, so pflegt gelegent%
lich ein Zuh\"orer den Einwand zu erheben, ich h\"atte die Behaup%
tung ja gar nicht vorher f\"ur $x$ bewiesen.  Der Einwand ist unbe%
rechtigt, aber verzeiblich; der Student hatte eben nie vom Induk%
tionsaxiom geh\"ort.  {\sl Grandjot\/}s Einwand klingt \"ahnlich mit dem
Unterschiede, da{\ss} er berechtigt war, so da{\ss} ich ihn auch verzeihen
mu{\ss}te.  Auf Grund seiner f\"unf Axiome definiert {\sl Peano\/} $x + y$ bei
festem $x$ f\"ur alle $y$ folgenderma{\ss}en:
$$\eqalign{x + 1 &= x',\cr
x + y' &= (x + y)',\cr}$$
und er und Nachfolger meinen damit: $x + y$ ist allgemein definiert;
denn die Menge der $y$, f\"ur die es definiert ist, enth\"alt $1$ und mit
$y$ auch $y'$.

Aber man hat ja $x + y$ gar nicht definiert.

Es w\"are in Ordnung, wenn man (was beim {\sl Peano\/}schen Wege
nicht der Fall ist, da die Ordnung erst nach der Addition einge%
f\"uhrt wird) den Begriff ``Zahlen $\le y$'' h\"atte und von der Menge
der $y$ spr\"ache, zu denen es ein f\"ur $z \le y$ definiertes $f(z)$ mit den
Eigenschaften gibt:
$$\eqalign{f(1) &= x',\cr
f(z') &= \bigl(f(z)\bigr)'\hbox{ f\"ur $z < y$.}\cr}$$
So verl\"auft {\sl Dedekind\/}s Begr\"undung.  Mit freundlicher Hilfe des
Kollegen {\sl von Neumann\/} in Princeton hatte ich nach vorheriger
Einf\"uhrung der Ordnung (was dem Leser nicht bequem gewesen
w\"are) einen derartigen Weg f\"ur dies B\"uchlein ausgearbeitet.
In letzter Stunde erfuhr ich aber einen sehr viel einfacheren Be%
weis von Dr.~{\sl Kalm\'ar\/} in Szeged; jetzt sieht die Sache so einfach
und der Beweis den \"ubrigen Beweisen des ersten Kapitels so \"ahn%
lich aus, da{\ss} auch der Kenner diese Pointe nicht gemerkt h\"atte,
wenn ich nicht mein obiges Gest\"andnis von Schuld und S\"uhne so
ausf\"uhrlich zu Protokoll gegeben h\"atte.  Bei $x \cdot y$ geht es genau
ebenso; $\sum_{n = 1}^m x_n$ und $\prod_{n = 1}^m x_n$ ist allerdings nur auf dem {\sl Dedekind\/}%
schen Wege m\"oglich; aber von Kap.~1, {\S}~3 an hat man ja die Menge
der $z \le y$.

Um es dem Leser m\"oglichst leicht zu machen, habe ich manche
(nicht sehr umfangreiche) Wortmengen in mehreren oder allen Ka%
piteln wiederholt.  F\"ur den Kenner w\"are es nat\"urlich ausreichend,
z.~B.\ ein f\"ur allemal beim Beweise der S\"atze 16 und 17 zu sagen:
Diese Begr\"undung gilt f\"ur jede Klasse von Zahlen, bei denen die
Zeichen $<$ und $=$ definiert sind und bestimmte vorangegangene
Eigenschaften haben.  Derartige wiederholte Schlu{\ss}weisen betreffen
S\"atze, die in allen betreffenden Kapiteln vorkommen mu{\ss}ten, weil
die S\"atze im nachfolgenden angewendet wurden.  Aber $\sum_{n = 1}^m a_n$ und
$\prod_{n = 1}^m a_n$ braucht man nur im letzten Kapitel einzuf\"uhren, um es
damit auch f\"ur die niederen Zahlarten zu haben.  Daher warte ich
damit bis zu den komplexen Zahlen, desgl.\ mit den S\"atzen \"uber
Subtraktion und Division; erstere gelten selbstverst\"andlich z.~B.\ %
f\"ur nat\"urliche Zahlen nur, wenn jeder Minuendus gr\"o{\ss}er ist als
der Subtrahendus, letztere z.~B.\ bei nat\"urlichen Zahlen nur, wenn
alle Divisionen aufgehen.

Mein Buch ist unter Verzicht auf Nebenbemerkungen in dem
unbarmherzigen Telegrammstil (``{\bf Axiom}'', ``{\bf Definition}'', ``{\bf Satz}'',
``{\bf Beweis}'', nur gelegentlich ``{\bf Vorbemerkung}''; selten Worte, die
zu keiner dieser f\"unf Rubriken geh\"oren) geschrieben, der bei einer
so leichten Materie am Platz ist.

Ich hoffe, nach jahrzehntelanger Vorbereitung diese Schrift so
abgefa{\ss}t zu haben, da{\ss} ein normaler Student sie in zwei Tagen
lesen kann.  Und dann darf er sogar (da er die formalen Regeln
ja schon von der Schule her kennt) den ganzen Inhalt bis auf das
Induktionsaxiom und den {\sl Dedekind\/}schen Hauptsatz vergessen.

Wenn aber gar dem einen oder anderen Kollegen der anderen
Richtung die Sache so leicht erscheint, da{\ss} er sie in seinen An%
f\"angervorlesungen (auf dem folgenden oder irgend einem anderen
Wege) bringt, w\"urde ich ein Ziel erreicht haben, auf das ich in
gr\"o{\ss}erem Umfange nicht zu hoffen wage.
\bigskip

{\sl Berlin,} den 28.~Dezember 1929.
\bigskip

\rightline{\bf Edmund Landau.}
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{\sl Kapitel 1.}
\medskip

\centerline{\bf Nat\"urliche Zahlen.}
\bigskip

\centerline{{\S}~1.}
\medskip

\centerline{\bf Axiome.}
\bigskip

Wir nehmen als gegeben an:

Eine Menge, d.~h.\ Gesamtheit, von Dingen, nat\"urliche Zahlen
genannt, mit den nachher aufzuz\"ahlenden Eigenschaften, Axiome
genannt.

Vor der Formulierung der Axiome sei einiges in bezug auf
die benutzten Zeichen $=$ und $\ne$ vorangeschickt.

Kleine lateinische Buchstaben bedeuten in diesem Buch, wenn
nichts anderes gesagt wird, durchweg nat\"urliche Zahlen.

Ist $x$ gegeben und $y$ gegeben, so sind

entweder $x$ und $y$ dieselbe Zahl; das kann man auch
$$x = y$$
schreiben ($=$ sprich: gleich);

oder $x$ und $y$ nicht dieselbe Zahl; das kann man auch
$$x \ne y$$
schreiben ($\ne$ sprich: ungleich).

Hiernach gilt aus rein logischen Gr\"unden:

1)
$$x = x$$
f\"ur jedes x.

2) Aus
$$x = y$$
folgt
$$y = x.$$

3) Aus
$$x = y,\quad y = z$$
folgt
$$x = z.$$

Eine Schreibweise wie
$$a = b = c = d,$$
mit der zun\"achst nur
$$a = b,\quad b = c,\quad c = d$$
gemeint ist, enth\"alt also \"uberdies z.~B.\ %
$$a = c,\quad a = d,\quad b = d.$$
(Entsprechend in den sp\"ateren Kapiteln.)

Von der Menge der nat\"urlichen Zahlen nehmen wir nun an,
da{\ss} sie die Eigenschaften hat:
\medskip

{\bf Axiom 1:} {\it $1$ ist eine nat\"urliche Zahl.}

D.~h.\ unsere Menge ist nicht leer; sie enth\"alt ein Ding, das $1$
(sprich: Eins) hei{\ss}t.
\medskip

{\bf Axiom 2:} {\it Zu jedem $x$ gibt es genau eine nat\"urliche Zahl, die
der Nachfolger von $x$ hei{\ss}t und mit $x'$ bezeichnet uerden m\"oge.}

Bei komplizierten $x$ wird die Zahl, um deren Nachfolger es
sich handelt, eingeklammert, wenn sonst ein Mi{\ss}verst\"andnis zu be%
f\"urchten ist.  Entsprechendes gilt im ganzen Buch bei $x + y$, $xy$,
$x - y$, $- x$, $x^y$ u.~dgl.

Aus
$$x = y$$
folgt also
$$x' = y'.$$
\medskip

{\bf Axiom 3:} {\it Stets ist
$$x' \ne 1.$$}%

D.~h.\ es gibt keine Zahl mit dem Nachfolger $1$.
\medskip

{\bf Axiom 4:} {\it Aus
$$x' = y'$$
folgt
$$x = y.$$}%

D.~h.\ zu jeder Zahl gibt es keine oder genau eine, deren Nach%
folger jene Zahl ist.
\medskip

\ifx\fr\undefined
  \font\teneufm=eufm10 \font\seveneufm=eufm7 \font\fiveeufm=eufm5
  \csname newfam\endcsname\eufmfam
  \textfont\eufmfam=\teneufm \scriptfont\eufmfam=\seveneufm \scriptscriptfont\eufmfam=\fiveeufm
  \def\fr{\fam\eufmfam}
\fi

{\bf Axiom 5} (Induktionsaxiom): {\it Es sei $\fr M$ eine Menge nat\"ulicher
Zahlen mit den Eigenschaften:

{\rm I)} $1$ geh\"ort zu $\fr M$.

{\rm II)} Wenn $x$ zu $\fr M$ geh\"ort, so geh\"ort $x'$ zu $\fr M$.

Dann umfa{\ss}t $\fr M$ alle nat\"urlichen Zahlen.}
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~2.}
\medskip

\centerline{\bf Addition.}
\bigskip

{\bf Satz 1:} {\it Aus
$$x \ne y$$
folgt
$$x' \ne y'.$$}%

{\bf Beweis:} Sonst w\"are
$$x' = y',$$
also nach Axiom 4
$$x = y.$$
\medskip

{\bf Satz 2:} {\it $$x' \ne x.$$}%

{\bf Beweis:} $\fr M$ sei die Menge der $x$, f\"ur die dies gilt.

I) Nach Axiom 1 und Axiom 3 ist
$$ 1' \ne 1;$$
also geh\"ort $1$ zu $\fr M$.

II) Ist $x$ zu $\fr M$ geh\"orig, so ist
$$x' \ne x,$$
also nach Satz 1
$$(x')' \ne x',$$
also $x'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Nach Axiom 5 umfa{\ss}t also $\fr M$ alle nat\"urlichen Zahlen; d.~h.\ %
f\"ur jedes $x$ ist
$$x' \ne x.$$
\medskip

{\bf Satz 3:} {\it Ist
$$x \ne 1,$$
so gibt es ein {\rm (also nach Axiom 4 genau ein)} $u$ mit
$$x = u'.$$}%

{\bf Beweis:} $\fr M$ sei die Menge, die aus der Zahl $1$ und denjenigen
$x$ besteht, zu denen es ein solches $u$ gibt.  (Von selbst ist jedes
derartige
$$x \ne 1$$
nach Axiom 3.)

I) $1$ geh\"ort zu $\fr M$.

II) Ist $x$ zu $\fr M$ geh\"orig, so ist, wenn unter $u$ die Zahl $x$ ver%
standen wird,
$$x' = u',$$
also $x'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Nach Axiom 5 umfa{\ss}t also $\fr M$ alle nat\"urlichen Zahlen; zu
jedem
$$x \ne 1$$
gibt es also ein $u$ mit
$$x = u'.$$
\medskip

{\bf Satz 4,} zugleich {\bf Definition 1:} {\it Auf genau eine Art l\"a{\ss}t sich
jedem Zahlenpaar $x$, $y$ eine nat\"urliche Zahl, $x + y$ genannt {\rm ($+$ sprich:
plus),} so zuordnen, da{\ss}

{\rm 1)} $$x + 1 = x'\quad\hbox{f\"ur jedes $x$,}$$

{\rm 2)} $$x + y' = (x + y)'\quad\hbox{f\"ur jedes $x$ und jedes $y$.}$$

$x + y$ hei{\ss}t die Summe von $x$ und $y$ oder die durch Addition von
$y$ zu $x$ entstehende Zahl.}

{\bf Beweis:} A) Zun\"achst zeigen wir, da{\ss} es bei jedem festen $x$
h\"ochstens eine M\"oglichkeit gibt, $x + y$ f\"ur alle $y$ so zu definieren, da{\ss}
$$x + 1 = x'$$
und
$$x + y' = (x + y)'\quad\hbox{f\"ur jedes $y$}.$$

Es seien $a_y$ und $b_y$ f\"ur alle $y$ definiert und so beschaffen, da{\ss}
$$a_1 = x',\quad b_1 = x',$$
$$a_{y'} = (a_y)',\quad b_{y'} = (b_y)'\quad\hbox{f\"ur jedes $y$}.$$
$\fr M$ sei die Menge der $y$ mit
$$a_y = b_y.$$

I) $$a_1 = x' = b_1;$$
$1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) Ist $y$ zu $\fr M$ geh\"orig, so ist
$$a_y = b_y,$$
also nach Axiom 2
$$(a_y)' = (b_y)',$$
also
$$a_{y'} = (a_y)' = (b_y)' = b_{y'},$$
also $y'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Daher ist $\fr M$ die Menge aller nat\"urlichen Zahlen; d.~h.\ f\"ur
jedes $y$ ist
$$a_y = b_y.$$

B) Wir zeigen jetzt, da{\ss} es zu jedem $x$ eine M\"oglichkeit gibt,
$x + y$ f\"ur alle $y$ so zu definieren, da{\ss}
$$x + 1 = x'$$
und
$$x + y' = (x + y)'\quad\hbox{f\"ur jedes $y$}.$$

$\fr M$ sei die Menge der $x$, zu denen es eine (also nach A) genau
eine) solche M\"oglichkeit gibt.

I) F\"ur
$$x = 1$$
leistet
$$x + y = y'$$
das Gew\"unschte.  Denn
$$x + 1 = 1' = x',$$
$$x + y' = (y')'= (x + y)'.$$
Also geh\"ort $1$ zu $\fr M$.

II) Es sei $x$ zu $\fr M$ geh\"orig, also ein $x + y$ f\"ur alle $y$ vor%
handen.  Dann leistet
$$x' + y = (x + y)'$$
das Gew\"unschte bei $x'$.  Denn
$$x' + 1 = (x + 1)' = (x')'$$
und
$$x' + y' = (x + y')' = \bigl((x + y)'\bigr)' = (x' + y)'.$$
Also geh\"ort $x'$ zu $\fr M$.

Daher umfa{\ss}t $\fr M$ alle $x$.
\medskip

{\bf Satz 5} (assoziatives Gesetz der Addition):
{\it $$(x + y) + z = x + (y + z).$$}%

{\bf Beweis:} $x$ und $y$ seien fest, $\fr M$ die Menge der $z$, f\"ur die die
Behauptung gilt.

I) $$(x + y) + 1 = (x + y)' = x + y' = x + (y + 1)$$
also geh\"ort $1$ zu $\fr M$.

II) $z$ geh\"ore zu $\fr M$.  Dann ist
$$(x + y) + z = x + (y + z),$$
also
$$(x + y) + z' = \bigl((x + y) + z\bigr)' = \bigl(x + (y + z)\bigr)' = x + (y + z)' = x + (y + z'),$$
also $z'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Die Behauptung gilt also f\"ur alle $z$.
\medskip

{\bf Satz 6} (kommutatives Gesetz der Addition):
{\it $$x + y = y + x.$$}%

{\bf Beweis:} $y$ sei fest, $\fr M$ die Menge der $x$, f\"ur die die Be%
hauptung gilt.

I) Es ist
$$y + 1 = y'$$
und nach der Konstruktion beim Beweise des Satzes 4
$$1 + y = y',$$
also
$$1 + y = y + 1,$$
$1$ zu $\fr M$ geh\"orig.

II) Ist $x$ zu $\fr M$ geh\"orig, so ist
$$x + y = y + x,$$
also
$$(x + y)' = (y + x)' = y + x'.$$
Nach der Konstruktion beim Beweise des Satzes 4 ist
$$x' + y = (x + y)',$$
also
$$x' + y = y + x'$$
also $x'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Die Behauptung gilt also f\"ur alle $x$.
\medskip

{\bf Satz 7:} {\it $$y \ne x + y.$$}%

{\bf Beweis:} $x$ sei fest, $\fr M$ die Menge der $y$, f\"ur die die Be%
hauptung gilt.

I) $$1 \ne x',$$
$$1 \ne x + 1;$$
$1$ geh\"ort zu $\fr M$.

II) Ist $y$ zu $\fr M$ geh\"orig, so ist
$$y \ne x + y,$$
also
$$y' \ne (x + y)',$$
$$y' \ne x + y',$$
$y'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Die Behauptung gilt also f\"ur alle $y$.
\medskip

{\bf Satz 8:} {\it Aus
$$y \ne z$$
folgt
$$x + y \ne x + z.$$}%

{\bf Beweis:} Bei festen $y$, $z$ mit
$$y \ne z$$
sei $\fr M$ die Menge der $x$ mit
$$x + y \ne x + z.$$

I) $$y' \ne z',$$
$$1 + y \ne 1 + z;$$
$1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) Ist $x$ zu $\fr M$ geh\"orig, so ist
$$x + y \ne x + z$$
also
$$(x + y)' \ne (x + z)',$$
$$x' + y \ne x' + z,$$
$x'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Also gilt die Behauptung stets.
\medskip

{\bf Satz 9:} {\it Sind $x$ und $y$ gegeben, so liegt genau einer der F\"alle vor:

1) $$x = y.$$

2) Es gibt ein {\rm (also nach Satz 8 genau ein)} $u$ mit
$$x = y + u.$$

3) Es gibt ein {\rm (also nach Satz 8 genau ein)} $v$ mit
$$y = x + v.$$}%

{\bf Beweis:} A) Nach Satz 7 sind 1), 2) unvertr\"aglich und 1), 3)
unvertr\"aglich.  Aus Satz 7 folgt auch die Unvertr\"aglichkeit von
2), 3); denn sonst w\"are
$$x = y + u = (x + v) + u = x + (v + u) = (v + u) + x.$$

Also liegt h\"ochstens einer der F\"alle 1), 2), 3) vor.

B) $x$ sei fest, $\fr M$ die Menge der $y$, f\"ur die einer (also nach A)
genau einer) der F\"alle 1), 2), 3) vorliegt.

I) F\"ur $y = 1$ ist nach Satz 3 entweder
$$x = 1 = y\quad\hbox{(Fall 1))}$$
oder
$$x = u' = 1 + u = y + u\quad\hbox{(Fall 2)).}$$
Daher geh\"ort $1$ zu $\fr M$.

II) Es geh\"ore $y$ zu $\fr M$.  Dann ist

entweder (Fall 1) bei $y$)
$$x = y,$$
also
$$y' = y + 1 = x + 1\quad\hbox{(Fall 3) f\"ur $y'$)};$$

oder (Fall 2) bei $y$)
$$x = y + u,$$
also, wenn
$$u = 1,$$
$$x = y + 1 = y'\quad\hbox{(Fall 1) f\"ur $y'$)};$$
wenn
$$u \ne 1,$$
nach Satz 3
$$u = w' = 1 + w,$$
$$x = y + (1 + w) = (y + 1) + w = y' + w\quad\hbox{(Fall 2) f\"ur $y'$)};$$
oder (Fall 3) bei $y$)
$$y = x + v,$$
also
$$y' = (x + v)' = x + v'\quad\hbox{(Fall 3) f\"ur $y'$)}.$$

Jedenfalls geh\"ort also $y'$ zu $\fr M$.

Daher liegt stets einer der F\"alle 1), 2), 3) vor.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~3.}
\medskip

\centerline{\bf Ordnung.}
\bigskip

{\bf Definition 2:} {\it Ist
$$x = y + u,$$
so ist
$$x > y.$$
{\rm ($>$ sprich: gr\"o{\ss}er als.)}}
\medskip

{\bf Definition 3:} {\it Ist
$$y = x + v,$$
so ist
$$x < y.$$
{\rm ($<$ sprich: kleiner als.)}}
\medskip

{\bf Satz 10:} {\it Sind $x$, $y$ beliebig, so liegt genau einer der F\"alle
$$x = y,\quad x > y,\quad x < y$$
vor.}

{\bf Beweis:} Satz 9, Definition 2 und Definition 3.
\medskip

{\bf Satz 11:} {\it Aus
$$x > y$$
folgt
$$y < x.$$}%

{\bf Beweis:} Beides besagt
$$x = y + u$$
bei passendem $u$.
\medskip

{\bf Satz 12:} {\it Aus
$$x < y$$
folgt
$$y > x.$$}%

{\bf Beweis:} Beides besagt
$$y = x + v$$
bei passendem $v$.
\medskip

{\bf Definition 4:} {\it $$x \ge y$$
bedeutet
$$x > y\quad\hbox{oder}\quad x = y.$$
{\rm ($\ge$ sprich: gr\"o{\ss}er oder gleich.)}}
\medskip

{\bf Definition 5:} {\it $$x \le y$$
bedeutet
$$x < y\quad\hbox{oder}\quad x = y.$$
{\rm ($\le$ sprich: kleiner oder gleich.)}}
\medskip

{\bf Satz 13:} {\it Aus
$$x \ge y$$
folgt
$$y \le x.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 11.
\medskip

{\bf Satz 14:} {\it Aus
$$x \le y$$
folgt
$$y \ge x.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 12.
\medskip

{\bf Satz 15} (Transitivit\"at der Ordnung): {\it Aus
$$x < y,\quad y < z$$
folgt
$$x < z.$$}%

{\bf Vorbemerkung:} Aus
$$x > y,\quad y > z$$
folgt also (wegen
$$z < y,\quad y < x,$$
$$z < x)$$
$$x > z;$$
aber solche trivialerweise durch R\"uckw\"artslesen entstehenden Wort%
laute schreibe ich in der Folge nicht erst auf.

{\bf Beweis:} Bei passenden $v$, $w$ ist
$$y = x + v,\quad z = y + w,$$
also
$$z = (x + v) + w = x + (v + w),$$
$$x < z.$$
\medskip

{\bf Satz 16:} {\it Aus
$$x \le y,\quad y < z\quad\hbox{oder}\quad x < y,\quad y \le z$$
folgt
$$x < z.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung klar;
sonst durch Satz 15 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 17:} {\it Aus
$$x \le y,\quad y \le z$$
folgt
$$x \le z.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
klar; sonst durch Satz 16 erledigt.

Nach den S\"atzen 15 bis 17 ist eine Schreibweise wie
$$a < b \le c < d$$
gerechtfertigt; das hei{\ss}t zun\"achst
$$a < b,\quad b \le c,\quad c < d,$$
enth\"alt aber nach jenen S\"atzen auch z.~B.\ %
$$a < c,\quad a < d,\quad b < d.$$
(Entsprechend in den sp\"ateren Kapiteln.)
\medskip

{\bf Satz 18:} {\it $$x + y > x.$$}%

{\bf Beweis:} $$x + y = x + y.$$
\medskip

{\bf Satz 19:} {\it Aus
$$x > y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x = y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x < y$$
folgt
$$x + z > y + z\quad\hbox{\it bzw.}\quad x + z = y + z\quad\hbox{\it bzw.}\quad x + z < y + z.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Aus
$$x > y$$
folgt
$$x = y + u,$$
$$x + z = (y + u) + z = (u + y) + z = u + (y + z) = (y + z) + u,$$
$$x + z > y + z.$$

2) Aus
$$x = y$$
folgt nat\"urlich
$$x + z = y + z.$$

3) Aus
$$x < y$$
folgt
$$y > x,$$
also nach 1)
$$y + z > x + z,$$
$$x + z < y + z.$$
\medskip

{\bf Satz 20:} {\it Aus
$$x + z > y + z\quad\hbox{\it bzw.}\quad x + z = y + z\quad\hbox{\it bzw.}\quad x + z < y + z$$
folgt
$$x > y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x = y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x < y.$$}%

{\bf Beweis:} Folgt aus Satz 19, da die drei F\"alle beide Male sich
ausschlie{\ss}en und alle M\"oglichkeiten ersch\"opfen.
\medskip

{\bf Satz 21:} {\it Aus
$$x > y,\quad z > u$$
folgt
$$x + z > y + u.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 19 ist
$$x + z > y + z$$
und
$$y + z = z + y > u + y = y + u,$$
also
$$x + z > y + u.$$
\medskip

{\bf Satz 22:} {\it Aus
$$x \ge y,\quad z > u\quad oder\quad x > y,\quad z \ge u$$
folgt
$$x + z > y + u.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
durch Satz 19, sonst durch Satz 21 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 23:} {\it Aus
$$x \ge y,\quad z \ge u$$
folgt
$$x + z \ge y + u.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
klar; sonst durch Satz 22 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 24:} {\it $$x \ge 1.$$}%

{\bf Beweis:} Entweder ist
$$x = 1$$
oder
$$x = u' = u + 1 > 1.$$
\medskip

{\bf Satz 25:} {\it Aus
$$y > x$$
folgt
$$y \ge x + 1$$}%

{\bf Beweis:} $$y = x + u,$$
$$u \ge 1,$$
also
$$y \ge x + 1.$$
\medskip

{\bf Satz 26:} {\it Aus
$$y < x + 1$$
folgt
$$y \le x.$$}%

{\bf Beweis:} Sonst w\"are
$$y > x,$$
also nach Satz 25
$$y \ge x + 1.$$
\medskip

{\bf Satz 27:} {\it In jeder nicht leeren Menge nat\"urlicher Zahlen gibt es
eine kleinste} (d.~h.\ eine, die kleiner ist als jede etwaige andere).

{\bf Beweis:} $\fr N$ sei die gegebene Menge.  $\fr M$ sei die Menge der $x$,
die $\le$ jeder Zahl aus $\fr N$ sind.

1 geh\"ort zu $\fr M$ nach Satz 24.  Nicht jedes $x$ geh\"ort zu $\fr M$;
denn f\"ur jedes $y$ aus $\fr N$ geh\"ort $y + 1$ nicht zu $\fr M$, wegen
$$y + 1 > y.$$

Also gibt es in $\fr M$ ein $m$, so da{\ss} $m + 1$ nicht zu $\fr M$ geh\"ort;
denn sonst m\"u{\ss}te nach Axiom 5 jede nat\"urliche Zahl zu $\fr M$ ge%
h\"oren.

Von jenem $m$ behaupte ich, da{\ss} es $\le$ jedem $n$ aus $\fr N$ ist und
zu $\fr N$ geh\"ort.  Ersteres steht schon fest.  Letzteres folgt indirekt
so: W\"are $m$ nicht zu $\fr N$ geh\"orig, so w\"are f\"ur jedes $n$ aus $\fr N$
$$m < n,$$
also nach Satz 25
$$m + 1 \le n;$$
$m + 1$ w\"urde also zu $\fr M$ geh\"oren, gegen das Obige.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~4.}
\medskip

\centerline{\bf Multiplikation.}
\bigskip

{\bf Satz 28,} zugleich {\bf Definition 6:} {\it Auf genau eine Art l\"a{\ss}t sich
jedem Zahlenpaar $x$, $y$ eine nat\"urliche Zahl, $x \cdot y$ genannt {\rm ($\cdot$ sprich:
mal; aber man schreibt den Punkt meist nicht),} so zuordnen, da{\ss}

{\rm 1)} $$x \cdot 1 = x\quad\hbox{f\"ur jedes $x$},$$

{\rm 2)} $$x \cdot y' = x \cdot y + x\quad\hbox{f\"ur jedes $x$ und jedes $y$}.$$

$x \cdot y$ hei{\ss}t das Produkt von $x$ mit $y$ oder die durch Multiplikation
von $x$ mit $y$ entstehende Zahl.}

{\bf Beweis} (mutatis mutandis w\"ortlich mit dem des Satzes 4 \"uber%
einstimmend): A) Zun\"achst zeigen wir, da{\ss} es bei jedem festen $x$
h\"ochstens eine M\"oglichkeit gibt, $xy$ f\"ur alle $y$ so zu definieren, da{\ss}
$$x \cdot 1 = x$$
und
$$xy' = xy + x\quad\hbox{f\"ur jedes $y$}.$$

Es seien $a_y$ und $b_y$ f\"ur alle $y$ definiert und so beschaffen, da{\ss}
$$a_1 = x,\quad b_1 = x,$$
$$a_{y'} = a_y + x,\quad b_{y'} = b_y + x\quad\hbox{f\"ur jedes $y$}.$$
$\fr M$ sei die Menge der $y$ mit
$$a_y = b_y.$$

I) $$a_1 = x = b_1;$$
$1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) Ist $y$ zu $\fr M$ geh\"orig, so ist
$$a_y = b_y,$$
also
$$a_{y'} = a_y + x = b_y + x = b_{y'},$$
also $y'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Daher ist $\fr M$ die Menge aller nat\"urlichen Zahlen; d.~h.\ f\"ur
jedes $y$ ist
$$a_y = b_y.$$

B) Wir zeigen jetzt, da{\ss} es zu jedem $x$ eine M\"oglichkeit gibt,
$xy$ f\"ur alle $y$ so zu definieren, da{\ss}
$$x \cdot 1 = x$$
und
$$xy' = xy + x\quad\hbox{f\"ur jedes $y$}.$$

$\fr M$ sei die Menge der $x$, zu denen es eine (also nach A) genau
eine) solche M\"oglichkeit gibt.

I) F\"ur
$$x = 1$$
leistet
$$xy = y$$
das Gew\"unschte.  Denn
$$x \cdot 1 = 1 = x,$$
$$xy' = y' = y + 1 = xy + x.$$
Also geh\"ort $1$ zu $\fr M$.

II) Es sei $x$ zu $\fr M$ geh\"orig, also ein $xy$ f\"ur alle $y$ vorhanden.
Dann leistet
$$x'y = xy + y$$
das Gew\"unschte bei $x'$.  Denn
$$x' \cdot 1 = x \cdot 1 + 1 = x + 1 = x'$$
und
$$\displaylines{x'y' = xy' + y' = (xy + x) + y' = xy + (x + y') = xy + (x + y)'\cr
= xy + (x' + y) = xy + (y + x') = (xy + y) + x' = x'y + x'.\cr}$$
Also geh\"ort $x'$ zu $\fr M$.

Daher umfa{\ss}t $\fr M$ alle $x$.
\medskip

{\bf Satz 29} (kommutatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$xy = yx.$$}%

{\bf Beweis:} $y$ sei fest, $\fr M$ die Menge der $x$, f\"ur die die Behaup%
tuug gilt.

I) Es ist
$$y \cdot 1 = y$$
und nach der Konstruktion beim Beweise des Satzes 28
$$1 \cdot y = y,$$
also
$$1 \cdot y = y \cdot 1,$$
$1$ zu $\fr M$ geh\"orig.

II) Ist $x$ zu $\fr M$ geh\"orig, so ist
$$xy = yx,$$
also
$$xy + y = yx + y = yx'.$$
Nach der Konstruktion beim Beweise des Satzes 28 ist
$$x'y = xy + y,$$
also
$$x'y = yx'$$
also $x'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Die Behauptung gilt also f\"ur alle $x$.
\medskip

{\bf Satz 30} (distributives Gesetz):
{\it $$x (y + z) = xy + xz.$$}%

{\bf Vorbemerkung:} Die aus Satz 30 und Satz 29 flie{\ss}ende Formel
$$(y + z)x = yx + zx$$
und \"ahnliche Analoga sp\"aterhin brauchen nicht besonders als S\"atze
formuliert oder auch nur aufgeschrieben zu werden.

{\bf Beweis:} Bei festen $x$, $y$ sei $\fr M$ die Menge der $z$, f\"ur die die
Behauptung gilt.

I) $$x(y + 1) = xy' = xy + x = xy + x \cdot 1;$$
$1$ geh\"ort zu $\fr M$.

II) Wenn $z$ zu $\fr M$ geh\"ort, ist
$$x(y + z) = xy + xz,$$
also
$$\displaylines{x(y + z') = x\bigl((y + z)'\bigr) = x(y + z) + x = (xy + xz) + x\cr
= xy + (xz + x) = xy + xz',\cr}$$
also $z'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

Daher gilt die Behauptung stets.
\medskip

{\bf Satz 31} (assoziatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$(xy)z = x(yz).$$}%

{\bf Beweis:} $x$ und $y$ seien fest, $\fr M$ die Menge der $z$, f\"ur die die
Behauptung gilt.

I) $$(xy) \cdot 1 = xy = x(y \cdot 1);$$
also geh\"ort $1$ zu $\fr M$.

II) $z$ geh\"ore zu $\fr M$.  Dann ist
$$(xy)z = x(yz),$$
also unter Benutzung von Satz 30
$$(xy)z' = (xy)z + xy = x(yz) + xy = x(yz + y) = x(yz'),$$
also $z'$ zu $\fr M$ geh\"orig.

$\fr M$ umfa{\ss}t also alle nat\"urlichen Zahlen.
\medskip

{\bf Satz 32:} {\it Aus
$$x > y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x = y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x < y$$
folgt
$$xz > yz\quad\hbox{\it bzw.}\quad xz = yz\quad\hbox{\it bzw.}\quad xz < yz.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Aus
$$x > y$$
folgt
$$x = y + u,$$
$$xz = (y + u)z = yz + uz > yz.$$

2) Aus
$$x = y$$
folgt nat\"urtlich
$$xz = yz.$$

3) Aus
$$x < y$$
folgt
$$y > x,$$
also nach 1)
$$yz > xz,$$
$$xz < yz.$$
\medskip

{\bf Satz 33:} {\it Aus
$$xz > yz\quad\hbox{\it bzw.}\quad xz = yz\quad\hbox{\it bzw.}\quad xz < yz$$
folgt
$$x > y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x = y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x < y.$$}%

{\bf Beweis:} Folgt aus Satz 32, da die drei F\"alle beide Male sich
ausschlie{\ss}en und alle M\"oglichkeiten ersch\"opfen.
\medskip

{\bf Satz 34:} {\it Aus
$$x > y,\quad z > u$$
folgt
$$xz > yu.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 32 ist
$$xz > yz$$
und
$$yz = zy > uy = yu,$$
also
$$xz > yu.$$
\medskip

{\bf Satz 35:} {\it Aus
$$x \ge y,\quad z > u\quad\hbox{oder}\quad x > y,\quad z \ge u$$
folgt
$$xz > yu.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
durch Satz 32, sonst durch Satz 34 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 36:} {\it Aus
$$x \ge y,\quad z \ge u$$
folgt
$$xz \ge yu.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
klar; sonst durch Satz 35 erledigt.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{\sl Kapitel 2.}
\medskip

\centerline{\bf Br\"uche.}
\bigskip

\centerline{{\S}~1.}
\medskip

\centerline{\bf Definition und \"Aquivalenz.}
\bigskip

{\bf Definition 7:} {\it Unter einem Bruch $x_1 \over x_2$ {\rm (sprich: $x_1$ \"uber $x_2$)} ver%
steht man das Paar der nat\"urlichen Zahlen $x_1, x_2$ {\rm (in dieser Reihen%
folge).}}
\medskip

{\bf Definition 8:} {\it $${x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}$$
{\rm ($\sim$ sprich: \"aquivalent),} wenn
$$x_1 y_2 = y_1 x_2.$$}%
\medskip

{\bf Satz 37:} {\it $${x_1 \over x_2} \sim {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $$x_1 x_2 = x_1 x_2.$$
\medskip

{\bf Satz 38:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}$$
folgt
$${y_1 \over y_2} \sim {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $$x_1 y_2 = y_1 x_2,$$
also
$$y_1 x_2 = x_1 y_2.$$
\medskip

{\bf Satz 39:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2},\quad {y_1 \over y_2} \sim {z_1 \over z_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} \sim {z_1 \over z_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $$x_1 y_2 = y_1 x_2,\quad y_1 z_2 = z_1 y_2,$$
also
$$(x_1 y_2)(y_1 z_2) = (y_1 x_2)(z_1 y_2).$$

Stets ist
$$\displaylines{(xy)(zu) = x\bigl(y(zu)\bigr) = x\bigl((yz)u\bigr) = x\bigl(u(yz)\bigr) = (xu)(yz)\cr
= (xu)(zy);\cr}$$
daher ist
$$(x_1 y_2)(y_1 z_2) = (x_1 z_2)(y_1 y_2)$$
und
$$(y_1 x_2)(z_1 y_2) = (y_1 y_2)(z_1 x_2) = (z_1 x_2)(y_1 y_2),$$
folglich nach dem Obigen
$$(x_1 z_2)(y_1 y_2) = (z_1 x_2)(y_1 y_2),$$
$$x_1 z_2 = z_1 x_2.$$
\bigskip

Auf Grund der S\"atze 37 bis 39 zerfallen alle Br\"uche in Klassen,
so da{\ss}
$${x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}$$
dann und nur dann, wenn $x_1 \over x_2$ und $y_1 \over y_2$ derselben Klasse angeh\"oren.
\medskip

{\bf Satz 40:} {\it $${x_1 \over x_2} \sim {x_1 x \over x_2 x}.$$}%

{\bf Beweis:} $$x_1 (x_2 x) = x_1 (x x_2) = (x_1 x) x_2.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~2.}
\medskip

\centerline{\bf Ordnung.}
\bigskip

{\bf Definition 9:} {\it $${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}$$
{\rm ($>$ sprich: gr\"o{\ss}er als),} wenn
$$x_1 y_2 > y_1 x_2.$$}%
\medskip

{\bf Definition 10:} {\it $${x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}$$
{\rm ($<$ sprich: kleiner als),} wenn
$$x_1 y_2 < y_1 x_2.$$}%
\medskip

{\bf Satz 41}: {\it Sind $x_1 \over x_2$, $y_1 \over y_2$ beliebig, so liegt genau einer der F\"alle
$${x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2},\quad {x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2},\quad {x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}$$
vor.}

{\bf Beweis:} Es liegt f\"ur $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$, genau einer der F\"alle
$$x_1 y_2 = y_1 x_2,\quad x_1 y_2 > y_1 x_2,\quad x_1 y_2 < y_1 x_2$$
vor.
\medskip

{\bf Satz 42:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}$$
folgt
$${y_1 \over y_2} < {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Aus
$$x_1 y_2 > y_1 x_2$$
folgt
$$y_1 x_2 < x_1 y_2.$$
\medskip

{\bf Satz 43:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}$$
folgt
$${y_1 \over y_2} > {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Aus
$$x_1 y_2 < y_1 x_2$$
folgt
$$y_1 x_2 > x_1 y_2.$$
\medskip

{\bf Satz 44:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2},\quad {x_1 \over x_2} \sim {z_1 \over z_2},\quad {y_1 \over y_2} \sim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${z_1 \over z_2} > {u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Vorbemerkung:} Ist also ein Bruch einer Klasse gr\"o{\ss}er als
ein Bruch einer anderen Klasse, so gilt dies f\"ur alle Repr\"asen%
tantenpaare der beiden Klassen.

{\bf Beweis:} $$y_1 u_2 = u_1 y_2,\quad z_1 x_2 = x_1 z_2,\quad x_1 y_2 > y_1 x_2,$$
also
$$(y_1 u_2)(z_1 x_2) = (u_1 y_2)(x_1 z_2),$$
also nach Satz 32
$$(y_1 x_2)(z_1 u_2) = (u_1 z_2)(x_1 y_2) > (u_1 z_2)(y_1 x_2),$$
also nach Satz 33
$$z_1 u_2 > u_1 z_2.$$
\medskip

{\bf Satz 45:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2},\quad {x_1 \over x_2} \sim {z_1 \over z_2},\quad {y_1 \over y_2} \sim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${z_1 \over z_2} < {u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Vorbemerkung:} Ist also ein Bruch einer Klasse kleiner als
ein Bruch einer anderen Klasse, so gilt dies f\"ur alle Repr\"asen%
tantenpaare der beiden Klassen.

{\bf Beweis:} Nach Satz 43 ist
$${y_1 \over y_2} > {x_1 \over x_2};$$
wegen
$${y_1 \over y_2} \sim {u_1 \over u_2},\quad {x_1 \over x_2} \sim {z_1 \over z_2}$$
ist also nach Satz 44
$${u_1 \over u_2} > {z_1 \over z_2},$$
also nach Satz 42
$${z_1 \over z_2} < {u_1 \over u_2}.$$

\ifx\gesim\undefined
  \def\gesim{\mathrel{\mathpalette\oversim >}}
  \def\lesim{\mathrel{\mathpalette\oversim <}}
  \def\oversim#1#2{\lower4pt\vbox{\baselineskip0pt \lineskip.5pt
    \ialign{$\mathsurround=0pt #1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr\sim\crcr}}}
\fi
\medskip

{\bf Definition 11:} {\it $${x_1 \over x_2} \gesim {y_1 \over y_2}$$
bedeutet
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it oder}\quad{x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}.$$
{\rm ($\gesim$ sprich: gr\"o{\ss}er oder \"aquivalent.)}}
\medskip

{\bf Definition 12:} {\it $${x_1 \over x_2} \lesim {y_1 \over y_2}$$
bedeutet
$${x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it oder}\quad{x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}.$$
{\rm ($\lesim$ sprich: kleiner oder \"aquivalent.)}}
\medskip

{\bf Satz 46:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \gesim {y_1 \over y_2},\quad {x_1 \over x_2} \sim {z_1 \over z_2},\quad {y_1 \over y_2} \sim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${z_1 \over z_2} \gesim {u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Mit $>$ in der Voraussetzung ist dies durch Satz 44
klar; anderenfalls ist
$${z_1 \over z_2} \sim {x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2} \sim {u_1 \over u_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 47:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \lesim {y_1 \over y_2},\quad {x_1 \over x_2} \sim {z_1 \over z_2},\quad {y_1 \over y_2} \sim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${z_1 \over z_2} \lesim {u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Mit $<$ in der Voraussetzung ist dies durch Satz 45
klar; anderenfalls ist
$${z_1 \over z_2} \sim {x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2} \sim {u_1 \over u_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 48:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \gesim {y_1 \over y_2}$$
folgt
$${y_1 \over y_2} \lesim {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 38 und Satz 42.
\medskip

{\bf Satz 49:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \lesim {y_1 \over y_2}$$
folgt
$${y_1 \over y_2} \gesim {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 38 und Satz 43.
\medskip

{\bf Satz 50} (Transitivit\"at der Ordnung): {\it Aus
$${x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2},\quad {y_1 \over y_2} < {z_1 \over z_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} < {z_1 \over z_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $$x_1 y_2 < y_1 x_2,\quad y_1 z_2 < z_1 y_2,$$
also
$$(x_1 y_2)(y_1 z_2) < (y_1 x_2)(z_1 y_2),$$
$$(x_1 z_2)(y_1 y_2) < (z_1 x_2)(y_1 y_2),$$
$$x_1 z_2 < z_1 x_2.$$
\medskip

{\bf Satz 51} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \lesim {y_1 \over y_2},\quad {y_1 \over y_2} < {z_1 \over z_2}\quad{\it oder}\quad{x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2},\quad {y_1 \over y_2} \lesim {z_1 \over z_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} < {z_1 \over z_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem \"Aquivalenzzeichen in der Voraussetzung
durch Satz 45, sonst durch Satz 50 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 52:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \lesim {y_1 \over y_2},\quad {y_1 \over y_2} \lesim {z_1 \over z_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} \lesim {z_1 \over z_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei \"Aquivalenzzeichen in der Voraussetzung
durch Satz 39, sonst durch Satz 51 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 53:} {\it Zu $x_1 \over x_2$ gibt es ein
$${z_1 \over z_2} > {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $$(x_1 + x_1) x_2 = x_1 x_2 + x_1 x_2 > x_1 x_2,$$
$${x_1 + x_1 \over x_2} > {x_1 \over x_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 54:} {\it Zu $x_1 \over x_2$ gibt es ein
$${z_1 \over z_2} < {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $$x_1 x_2 < x_1 x_2 + x_1 x_2 = x_1 (x_2 + x_2),$$
$${x_1 \over x_2 + x_2} < {x_1 \over x_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 55:} {\it Ist
$${x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2},$$
so gibt es ein $z_1 \over z_2$ mit
$${x_1 \over x_2} < {z_1 \over z_2} < {y_1 \over y_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $$x_1 y_2 < y_1 x_2,$$
also
$$x_1 x_2 + x_1 y_2 < x_1 x_2 + y_1 x_2,\quad x_1 y_2 + y_1 y_2 < y_1 x_2 + y_1 y_2,$$
$$x_1 (x_2 + y_2) < (x_1 + y_1) x_2,\quad (x_1 + y_1) y_2 < y_1 (x_2 + y_2),$$
$${x_1 \over x_2} < {x_1 + y_1 \over x_2 + y_2} < {y_1 \over y_2}.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~3.}
\medskip

\centerline{\bf Addition.}
\bigskip

{\bf Definition 13:} {\it Unter ${x_1 \over x_2} + {y_1 \over y_2}$ {\rm ($+$ sprich: plus)} versteht man den
Bruch $x_1 y_2 + y_1 x_2 \over x_2 y_2$.

Er hei{\ss}t die Summe von $x_1 \over x_2$ und $y_1 \over y_2$ oder der durch Addition
von $y_1 \over y_2$ zu $x_1 \over x_2$ entstehende Bruch.}
\medskip

{\bf Satz 56:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} \sim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} \sim {y_1 \over y_2} + {u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Vorbemerkung:} Die Klasse der Summe h\"angt also nur von
den Klassen ab, zu denen die ``Summanden'' geh\"oren.

{\bf Beweis:} $$x_1 y_2 = y_1 x_2,\quad z_1 u_2 = u_1 z_2,$$
also
$$(x_1 y_2)(z_2 u_2) = (y_1 x_2)(z_2 u_2),\quad (z_1 u_2)(x_2 y_2) = (u_1 z_2)(x_2 y_2),$$
also
$$(x_1 z_2)(y_2 u_2) = (y_1 u_2)(x_2 z_2),\quad (z_1 x_2)(y_2 u_2) = (u_1 y_2)(x_2 z_2),$$
$$(x_1 z_2)(y_2 u_2) + (z_1 x_2)(y_2 u_2) = (y_1 u_2)(x_2 z_2) + (u_1 y_2)(x_2 z_2),$$
$$(x_1 z_2 + z_1 x_2)(y_2 u_2) = (y_1 u_2 + u_1 y_2)(x_2 z_2),$$
$${x_1 z_2 + z_1 x_2 \over x_2 z_2} \sim {y_1 u_2 + u_1 y_2 \over y_2 u_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 57:} {\it $${x_1 \over x} + {x_2 \over x} \sim {x_1 + x_2 \over x}.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Definition 13 und Satz 40 ist
$${x_1 \over x} + {x_2 \over x} \sim {x_1 x + x_2 x \over x x} \sim {(x_1 + x_2) x \over x x} \sim {x_1 + x_2 \over x}.$$
\medskip

{\bf Satz 58:} (kommutatives Gesetz der Addition):
{\it $${x_1 \over x_2} + {y_1 \over y_2} \sim {y_1 \over y_2} + {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $${x_1 \over x_2} + {y_1 \over y_2} \sim {x_1 y_2 + y_1 x_2 \over x_2 y_2} \sim {y_1 x_2 + x_1 y_2 \over y_2 x_2} \sim {y_1 \over y_2} + {x_1 \over x_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 59:} (assoziatives Gesetz der Addition):
{\it $$\left({x_1 \over x_2} + {y_1 \over y_2}\right) + {z_1 \over z_2} \sim {x_1 \over x_2} + \left({y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}\right).$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{\left({x_1 \over x_2} + {y_1 \over y_2}\right) + {z_1 \over z_2} \sim {x_1 y_2 + y_1 x_2 \over x_2 y_2} + {z_1 \over z_2}\cr
\sim {(x_1 y_2 + y_1 x_2) z_2 + z_1 (x_2 y_2) \over (x_2 y_2) z_2} \sim {\bigl((x_1 y_2) z_2 + (y_1 x_2) z_2\bigr) + z_1 (y_2 x_2) \over x_2 (y_2 z_2)}\cr
\sim {\bigl(x_1 (y_2 z_2) + (x_2 y_1) z_2\bigr) + (z_1 y_2) x_2 \over x_2 (y_2 z_2)} \sim {\bigl(x_1 (y_2 z_2) + x_2 (y_1 z_2)\bigr) + (z_1 y_2) x_2 \over x_2 (y_2 z_2)}\cr
\sim {x_1 (y_2 z_2) + \bigl((y_1 z_2) x_2 + (z_1 y_2) x_2\bigr) \over x_2 (y_2 z_2)} \sim {x_1 (y_2 z_2) + (y_1 z_2 + z_1 y_2) x_2 \over x_2 (y_2 z_2)}\cr
\sim {x_1 \over x_2} + {y_1 z_2 + z_1 y_2 \over y_2 z_2} \sim {x_1 \over x_2} + \left({y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}\right).\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 60:} {\it $${x_1 \over x_2} + {y_1 \over y_2} > {x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $$x_1 y_2 + y_1 x_2 > x_1 y_2,$$
$$(x_1 y_2 + y_1 x_2) x_2 > (x_1 y_2) x_2 = x_1 (y_2 x_2) = x_1 (x_2 y_2),$$
$${x_1 \over x_2} + {y_1 \over y_2} \sim {x_1 y_2 + y_1 x_2 \over x_2 y_2} > {x_1 \over x_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 61:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Aus
$$x_1 y_2 > y_1 x_2$$
folgt
$$(x_1 y_2) z_2 > (y_1 x_2) z_2.$$
Wegen
$$(xy)z = x(yz) = x(zy) = (xz)y$$
ist also
$$(x_1 z_2) y_2 > (y_1 z_2) x_2$$
und
$$(z_1 x_2) y_2 = (z_1 y_2) x_2,$$
also
$$(x_1 z_2 + z_1 x_2) y_2 > (y_1 z_2 + z_1 y_2) x_2,$$
$$(x_1 z_2 + z_1 x_2)(y_2 z_2) > (y_1 z_2 + z_1 y_2)(x_2 z_2),$$
$${x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} \sim {x_1 z_2 + z_1 x_2 \over x_2 z_2} > {y_1 z_2 + z_1 y_2 \over y_2 z_2} \sim {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 62:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}$$
folgt
$$\displaylines{{x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} \sim {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}\cr
\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} < {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}.\cr}$$}%

{\bf Beweis:} Der erste Teil ist Satz 61, der zweite in Satz 56
enthalten, der dritte eine Folge des ersten wegen
$${y_1 \over y_2} > {x_1 \over x_2},$$
$${y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2} > {x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2},$$
$${x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} < {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 63:} {\it Aus
$$\displaylines{{x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} \sim {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}\cr
\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} < {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}\cr}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Folgt aus Satz 62, da die drei F\"alle beide Male sich
ausschlie{\ss}en und alle M\"oglichkeiten ersch\"opfen.
\medskip

{\bf Satz 64:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} > {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2} + {u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 61 ist
$${x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}$$
und
$${y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2} \sim {z_1 \over z_2} + {y_1 \over y_2} > {u_1 \over u_2} + {y_1 \over y_2} \sim {y_1 \over y_2} + {u_1 \over u_2},$$
also
$${x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2} + {u_1 \over u_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 65:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \gesim {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} > {u_1 \over u_2}\quad\hbox{\it oder}\quad{x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} \gesim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2} + {u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem \"Aquivalenzzeichen in der Voraussetzung
durch Satz 56 und Satz 61, sonst durch Satz 64 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 66:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \gesim {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} \gesim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} + {z_1 \over z_2} \gesim {y_1 \over y_2} + {u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei \"Aquivalenzzeichen in der Voraussetzung
durch Satz 56, sonst durch Satz 65 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 67:} {\it Ist
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2},$$
so hat
$${y_1 \over y_2} + {u_1 \over u_2} \sim {x_1 \over x_2}$$
eine L\"osung $u_1 \over u_2$.  Sind $v_1 \over v_2$ und $w_1 \over w_2$ L\"osungen, so ist
$${v_1 \over v_2} \sim {w_1 \over w_2}.$$}%

{\bf Vorbemerkung:} F\"ur
$${x_1 \over x_2} \lesim {y_1 \over y_2}$$
gibt es nach Satz 60 keine L\"osung.

{\bf Beweis:} Die zweite Behauptung folgt unmittelbar aus Satz 63;
denn f\"ur
$${y_1 \over y_2} + {v_1 \over v_2} \sim {y_1 \over y_2} + {w_1 \over w_2}$$
ist nach jenem Satz
$${v_1 \over v_2} \sim {w_1 \over w_2}.$$

Die Existenz eines $u_1 \over u_2$ (erste Behauptung) ergibt sich folgender%
ma{\ss}en.  Es ist
$$x_1 y_2 > y_1 x_2.$$
Es werde $u$ aus
$$x_1 y_2 = y_1 x_2 + u$$
bestimmt und
$$u_1 = u,\quad u_2 = x_2 y_2$$
gesetzt.  Dann ist $u_1 \over u_2$ L\"osung wegen
$${y_1 \over y_2} + {u_1 \over u_2} \sim {y_1 \over y_2} + {u \over x_2 y_2} \sim {y_1 x_2 \over x_2 y_2} + {u \over x_2 y_2} \sim {y_1 x_2 + u \over x_2 y_2} \sim {x_1 y_2 \over x_2 y_2} \sim {x_1 \over x_2}.$$
\medskip

{\bf Definition 14:} {\it Das beim Beweise des Satzes 67 konstruierte spe%
zielle $u_1 \over u_2$ hei{\ss}t ${x_1 \over x_2} - {y_1 \over y_2}$ {\rm ($-$ sprich: minus)} oder die Differenz $x_1 \over x_2$ mi%
nus $y_1 \over y_2$ oder der durch Subtraktion des Bruches $y_1 \over y_2$ vom Bruche $x_1 \over x_2$
entstehende Bruch.}

Aus
$${x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2} + {v_1 \over v_2}$$
folgt also
$${v_1 \over v_2} \sim {x_1 \over x_2} - {y_1 \over y_2}.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~4.}
\medskip

\centerline{\bf Multiplikation.}
\bigskip

{\bf Definition 15:} {\it Unter ${x_1 \over x_2} \cdot {y_1 \over y_2}$ {\rm ($\cdot$ sprich: mal; aber man schreibt
den Punkt meist nicht)} versteht man den Bruch $x_1 y_1 \over x_2 y_2$.

Er hei{\ss}t das Produkt von $x_1 \over x_2$ mit $y_1 \over y_2$ oder der durch Multipli%
kation von $x_1 \over x_2$ mit $y_1 \over y_2$ entstehende Bruch.}
\medskip

{\bf Satz 68:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} \sim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} \sim {y_1 \over y_2}{u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Vorbemerkung:} Die Klasse des Produktes h\"angt also nur
den Klassen ab, zu denen die ``Faktoren'' geh\"oren.

{\bf Beweis:} $$x_1 y_2 = y_1 x_2,\quad z_1 u_2 = u_1 z_2,$$
also
$$(x_1 y_2)(z_1 u_2) = (y_1 x_2)(u_1 z_2),$$
$$(x_1 z_1)(y_2 u_2) = (y_1 u_1)(x_2 z_2),$$
$${x_1 z_1 \over x_2 z_2} \sim {y_1 u_1 \over y_2 u_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 69} (kommutatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $${x_1 \over x_2}{y_1 \over y_2} \sim {y_1 \over y_2}{x_1 \over x_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $${x_1 \over x_2}{y_1 \over y_2} \sim {x_1 y_1 \over x_2 y_2} \sim {y_1 x_1 \over y_2 x_2} \sim {y_1 \over y_2}{x_1 \over x_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 70} (assoziatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$\left({x_1 \over x_2}{y_1 \over y_2}\right){z_1 \over z_2} \sim {x_1 \over x_2}\left({y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}\right).$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{\left({x_1 \over x_2}{y_1 \over y_2}\right){z_1 \over z_2} \sim {x_1 y_1 \over x_2 y_2}{z_1 \over z_2} \sim {(x_1 y_1) z_1 \over (x_2 y_2) z_2}\cr
\sim {x_1 (y_1 z_1) \over x_2 (y_2 z_2)} \sim {x_1 \over x_2}{y_1 z_1 \over y_2 z_2} \sim {x_1 \over x_2}\left({y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}\right).\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 71} (distributives Gesetz):
{\it $${x_1 \over x_2}\left({y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}\right) \sim {x_1 \over x_2}{y_1 \over y_2} + {x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2}.$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{{x_1 \over x_2}\left({y_1 \over y_2} + {z_1 \over z_2}\right) \sim {x_1 \over x_2}{y_1 z_2 + z_1 y_2 \over y_2 z_2} \sim {x_1 (y_1 z_2 + z_1 y_2) \over x_2 (y_2 z_2)}\cr
\sim {x_1 (y_1 z_2) + x_1 (z_1 y_2) \over x_2 (y_2 z_2)} \sim {x_1 (y_1 z_2) \over x_2 (y_2 z_2)} + {x_1 (z_1 y_2) \over x_2 (y_2 z_2)} \sim {(x_1 y_1) z_2 \over (x_2 y_2) z_2} + {(x_1 z_1) y_2 \over (x_2 z_2) y_2}\cr
\sim {x_1 y_1 \over x_2 y_2} + {x_1 z_1 \over x_2 z_2} \sim {x_1 \over x_2}{y_1 \over y_2} + {x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2}.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 72:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} \sim {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} < {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Aus
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}$$
folgt
$$x_1 y_2 > y_1 x_2,$$
$$(x_1 y_2)(z_1 z_2) > (y_1 x_2)(z_1 z_2),$$
$$(x_1 z_1)(y_2 z_2) > (y_1 z_1)(x_2 z_2),$$
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} \sim {x_1 z_1 \over x_2 z_2} > {y_1 z_1 \over y_2 z_2} \sim {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}.$$

2) Aus
$${x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}$$
folgt nach Satz 68
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} \sim {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}.$$

3) Aus
$${x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}$$
folgt
$${y_1 \over y_2} > {x_1 \over x_2},$$
also nach 1)
$${y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2} > {x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2},$$
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} < {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 73:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} \sim {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} < {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} \sim {y_1 \over y_2}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Folgt aus Satz 72, da die drei F\"alle beide Male sich
ausschlie{\ss}en und alle M\"oglichkeiten ersch\"opfen.
\medskip

{\bf Satz 74:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} > {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2}{u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 72 ist
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2}$$
und
$${y_1 \over y_2}{z_1 \over z_2} \sim {z_1 \over z_2}{y_1 \over y_2} > {u_1 \over u_2}{y_1 \over y_2} \sim {y_1 \over y_2}{u_1 \over u_2},$$
also
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2}{u_1 \over u_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 75:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \gesim {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} > {u_1 \over u_2}\quad\hbox{\it oder}\quad{x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} \gesim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} > {y_1 \over y_2}{u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem \"Aquivalenzzeichen in der Voraussetzung
durch Satz 68 und Satz 72, sonst durch Satz 74 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 76:} {\it Aus
$${x_1 \over x_2} \gesim {y_1 \over y_2},\quad {z_1 \over z_2} \gesim {u_1 \over u_2}$$
folgt
$${x_1 \over x_2}{z_1 \over z_2} \gesim {y_1 \over y_2}{u_1 \over u_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei \"Aquivalenzzeichen in der Voraussetzung
durch Satz 68, sonst durch Satz 75 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 77:} {\it Die \"Aquivalenz
$${y_1 \over y_2}{u_1 \over u_2} \sim {x_1 \over x_2}$$
wo $x_1 \over x_2$ und $y_1 \over y_2$ gegeben sind, hat eine L\"osung $u_1 \over u_2.$  Sind $v_1 \over v_2$ und $w_1 \over w_2$
L\"osungen, so ist
$${v_1 \over v_2} \sim {w_1 \over w_2}.$$}%

{\bf Beweis:} Die zweite Behauptung folgt unmittelbar aus Satz
73; denn f\"ur
$${y_1 \over y_2}{v_1 \over v_2} \sim {y_1 \over y_2}{w_1 \over w_2}$$
ist nach jenem Satz
$${v_1 \over v_2} \sim {w_1 \over w_2}.$$

Die Existenz eines $u_1 \over u_2$ (erste Behauptung) ergibt sich folgender%
ma{\ss}en.  F\"ur
$$u_1 = x_1 y_2,\quad u_2 = x_2 y_1$$
ist $u_1 \over u_2$ L\"osung wegen
$${y_1 \over y_2}{u_1 \over u_2} \sim {u_1 \over u_2}{y_1 \over y_2} \sim {x_1 y_2 \over x_2 y_1}{y_1 \over y_2} \sim {(x_1 y_2) y_1 \over (x_2 y_1) y_2} \sim {x_1 (y_1 y_2) \over x_2 (y_1 y_2)} \sim {x_1 \over x_2}.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~5.}
\medskip

\centerline{\bf Rationale Zahlen und ganze Zahlen.}
\bigskip

{\bf Definition 16:} {\it Unter einer rationalen Zahl versteht man die
Menge aller einem festen Bruch \"aquiva\-lenten Br\"uche {\rm (also eine Klasse
im Sinne des {\S}~1).}}

Gro{\ss}e lateinische Buchstaben bezeichnen durchweg, wofern
nichts anderes gesagt wird, rationale Zahlen.
\medskip

{\bf Definition 17:} {\it $$X = Y$$
{\rm ($=$ sprich: gleich),} wenn beide Mengen dieselben Br\"uche umfassen.
Anderenfalls
$$X \ne Y$$
{\rm ($\ne$ sprich: ungleich).}}

Trivial sind die drei S\"atze:
\medskip

{\bf Satz 78:} {\it $$X = X.$$}%
\medskip

{\bf Satz 79:} {\it Aus
$$X = Y$$
folgt
$$Y = X.$$}%
\medskip

{\bf Satz 80:} {\it Aus
$$X = Y,\quad Y = Z$$
folgt
$$X = Z.$$}%
\medskip

{\bf Definition 18:} {\it $$X > Y$$
{\rm ($>$ sprich: gr\"o{\ss}er als),} wenn f\"ur einen {\rm (also nach Satz 44 f\"ur je
einen)} Bruch $x_1 \over x_2$ bzw. $y_1 \over y_2$ aus der Menge X bzw. Y
$${x_1 \over x_2} > {y_1 \over y_2}$$
ist.}
\medskip

{\bf Definition 19:} {\it $$X < Y$$
{\rm ($<$ sprich: kleiner als),} wenn f\"ur einen {\rm (also nach Satz 45 f\"ur je
einen)} Bruch $x_1 \over x_2$ bzw. $y_1 \over y_2$ aus der Menge X bzw. Y
$${x_1 \over x_2} < {y_1 \over y_2}$$
ist.}
\medskip

{\bf Satz 81:} {\it Sind X, Y beliebig, so liegt genau einer der F\"alle
$$X = Y,\quad X > Y,\quad X < Y$$
vor.}

{\bf Beweis:} Satz 41.
\medskip

{\bf Satz 82:} {\it Aus
$$X > Y$$
folgt
$$Y < X.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 42.
\medskip

{\bf Satz 83:} {\it Aus
$$X < Y$$
folgt
$$Y > X.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 43.
\medskip

{\bf Definition 20:} {\it $$X \ge Y$$
bedeutet
$$X > Y\quad\hbox{\it oder}\quad X = Y.$$
{\rm ($\ge$ sprich: gr\"o{\ss}er oder gleich.)}}
\medskip

{\bf Definition 21:} {\it $$X \le Y$$
bedeutet
$$X < Y\quad\hbox{\it oder}\quad X = Y.$$
{\rm ($\le$ sprich: kleiner oder gleich.)}}
\medskip

{\bf Satz 84:} {\it Aus
$$X \ge Y$$
folgt
$$Y \le X.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 48.
\medskip

{\bf Satz 85:} {\it Aus
$$X \le Y$$
folgt
$$Y \ge X.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 49.
\medskip

{\bf Satz 86} (Transitivit\"at der Ordnung): {\it Aus
$$X < Y,\quad Y < Z$$
folgt
$$X < Z.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 50.
\medskip

{\bf Satz 87:} {\it Aus
$$X \le Y,\quad Y < Z\quad\hbox{\it oder}\quad X < Y,\quad Y \le Z$$
folgt
$$X < Z.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 51.
\medskip

{\bf Satz 88:} {\it Aus
$$X \le Y,\quad Y \le Z$$
folgt
$$X \le Z.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 52.
\medskip

{\bf Satz 89:} {\it Zu $X$ gibt es ein
$$Z > X.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 53.
\medskip

{\bf Satz 90:} {\it Zu $X$ gibt es ein
$$Z < X.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 54.
\medskip

{\bf Satz 91:} {\it Ist
$$X < Y,$$
so gibt es ein $Z$ mit
$$X < Z < Y.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 55.
\medskip

{\bf Definition 22:} {\it Unter $X + Y$ {\rm ($+$ sprich: plus)} versteht man die
Klasse, der eine {\rm (also nach Satz 56 jede)} Summe eines Bruches aus
$X$ und eines Bruches aus $Y$ angeh\"ort.

Diese rationale Zahl hei{\ss}t die Summe von $X$ und $Y$ oder die
durch Addition von $Y$ zu $X$ entstehende rationale Zahl.}
\medskip

{\bf Satz 92} (kommutatives Gesetz der Addition):
{\it $$X + Y = Y + X.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 58.
\medskip

{\bf Satz 93} (assoziatives Gesetz der Addition):
{\it $$(X + Y) + Z = X + (Y + Z).$$}%

{\bf Beweis:} Satz 59.
\medskip

{\bf Satz 94:} {\it $$X + Y > X.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 60.
\medskip

{\bf Satz 95:} {\it Aus
$$X > Y$$
folgt
$$X + Z > Y + Z.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 61.
\medskip

{\bf Satz 96:} {\it Aus
$$X > Y\quad\hbox{\it bzw.}\quad X = Y\quad\hbox{\it bzw.}\quad X < Y$$
folgt
$$X + Z > Y + Z\quad\hbox{\it bzw.}\quad X + Z = Y + Z\quad\hbox{\it bzw.}\quad X + Z < Y + Z.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 62.
\medskip

{\bf Satz 97:} {\it Aus
$$X + Z > Y + Z\quad\hbox{\it bzw.}\quad X + Z = Y + Z\quad\hbox{\it bzw.}\quad X + Z < Y + Z$$
folgt
$$X > Y\quad\hbox{\it bzw.}\quad X = Y\quad\hbox{\it bzw.}\quad X < Y.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 63.
\medskip

{\bf Satz 98:} {\it Aus
$$X > Y,\quad Z > U$$
folgt
$$X + Z > Y + U.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 64.
\medskip

{\bf Satz 99:} {\it Aus
$$X \ge Y,\quad Z > U\quad\hbox{\it oder}\quad X > Y,\quad Z \ge U$$
folgt
$$X + Z > Y + U.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 65.
\medskip

{\bf Satz 100:} {\it Aus
$$X \ge Y,\quad Z \ge U$$
folgt
$$X + Z \ge Y + U.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 66.
\medskip

{\bf Satz 101:} {\it Ist
$$X > Y,$$
so hat
$$Y + U = X$$
genau eine l\"osung $U$.}

{\bf Vorbemerkung:} F\"ur
$$X \le Y$$
gibt es nach Satz 94 keine L\"osung.

{\bf Beweis:} Satz 67.
\medskip

{\bf Definition 23:} {\it Dies $U$ hei{\ss}t $X - Y$ {\rm ($-$ sprich: minus)} oder die
Differenz $X$ minus $Y$ oder die durch Subtraktion der rationalen Zahl
$Y$ von der rationalen Zahl $X$ entstehende rationale Zahl.}
\medskip

{\bf Definition 24:} {\it Unter $X \cdot Y$ {\rm ($\cdot$ sprich: mal; aber man schreibt
den Punkt meist nicht)} versteht man die Klasse, der ein {\rm (also nach
Satz 68 jedes)} Produkt eines Bruches aus $X$ mit einem Bruche aus
$Y$ angeh\"ort.

Diese rationale Zahl hei{\ss}t das Produkt von $X$ mit $Y$ oder die
durch Multiplikation von $X$ mit $Y$ entstehende rationale Zahl.}
\medskip

{\bf Satz 102} (kommutatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$XY = YX.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 69.
\medskip

{\bf Satz 103} (assoziatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$(XY)Z = X(YZ).$$}%

{\bf Beweis:} Satz 70.
\medskip

{\bf Satz 104} (distributives Gesetz):
{\it $$X(Y + Z) = XY + XZ.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 71.
\medskip

{\bf Satz 105:} {\it Aus
$$X > Y\quad\hbox{\it bzw.}\quad X = Y\quad\hbox{\it bzw.}\quad X < Y$$
folgt
$$XZ > YZ\quad\hbox{\it bzw.}\quad XZ = YZ\quad\hbox{\it bzw.}\quad XZ < YZ.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 72.
\medskip

{\bf Satz 106:} {\it Aus
$$XZ > YZ\quad\hbox{\it bzw.}\quad XZ = YZ\quad\hbox{\it bzw.}\quad XZ < YZ$$
folgt
$$X > Y\quad\hbox{\it bzw.}\quad X = Y\quad\hbox{\it bzw.}\quad X < Y.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 73.
\medskip

{\bf Satz 107:} {\it Aus
$$X > Y,\quad Z > U$$
folgt
$$XZ > YU.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 74.
\medskip

{\bf Satz 108:} {\it Aus
$$X \ge Y,\quad Z > U\quad\hbox{\it oder}\quad X > Y,\quad Z \ge U$$
folgt
$$XZ > YU.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 75.
\medskip

{\bf Satz 109:} {\it Aus
$$X \ge Y,\quad Z \ge U$$
folgt
$$XZ \ge YU.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 76.
\medskip

{\bf Satz 110:} {\it Die Gleichung
$$YU = X,$$
wo $X$ und $Y$ gegeben sind, hat genau eine L\"osung $U$.}

{\bf Beweis:} Satz 77.
\medskip

{\bf Satz 111:} {\it Aus
$${x \over 1} > {y \over 1}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x \over 1} \sim {y \over 1}\quad\hbox{\it bzw.}\quad{x \over 1} < {y \over 1}$$
folgt
$$x > y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x = y\quad\hbox{\it bzw.}\quad x < y$$
und umgekehrt.}

{\bf Beweis:} $$x \cdot 1 > y \cdot 1\quad\hbox{\rm bzw.}\quad x \cdot 1 = y \cdot 1\quad\hbox{\rm bzw.}\quad x \cdot 1 < y \cdot 1$$
bedeutet dasselbe wie
$$x > y\quad\hbox{\rm bzw.}\quad x = y\quad\hbox{\rm bzw.}\quad x < y.$$
\medskip

{\bf Definition 25:} {\it Eine rationale Zahl hei{\ss}t ganz, wenn unter den
Br\"uchen, deren Gesamtheit sie ist, ein Bruch $x \over 1$ vorkommt.}

Dies $x$ ist nach Satz 111 eindeutig bestimmt, und umgekehrt
entspricht jedem $x$ genau eine ganze Zahl.
\medskip

{\bf Satz 112:} {\it $${x \over 1} + {y \over 1} \sim {x + y \over 1},$$
$${x \over 1}{y \over 1} \sim {xy \over 1}.$$}%

{\bf Vorbemerkung:} Summe und Produkt zweier ganzer Zahlen
sind also ganze Zahlen.

{\bf Beweis:} 1) Nach Satz 57 ist
$${x \over 1} + {y \over 1} \sim {x + y \over 1}.$$

2) Nach Definition 15 ist
$${x \over 1}{y \over 1} \sim {xy \over 1 \cdot 1} \sim {xy \over 1}.$$
\medskip

{\bf Satz 113:} {\it Die ganzen Zahlen gen\"ugen den f\"unf Axiomen der
nat\"urlichen Zahlen, wenn die Klasse von $1 \over 1$ an Stelle von $1$ genommen
wird und als Nachfolger der Klasse von $x \over 1$ die Klasse von $x' \over 1$ an%
gesehen wird.}

\ifx\fr\undefined
  \font\teneufm=eufm10 \font\seveneufm=eufm7 \font\fiveeufm=eufm5
  \csname newfam\endcsname\eufmfam
  \textfont\eufmfam=\teneufm \scriptfont\eufmfam=\seveneufm \scriptscriptfont\eufmfam=\fiveeufm
  \def\fr{\fam\eufmfam}
\fi

{\bf Beweis:} $\overline{\fr Z}$ sei die Menge der ganzen Zahlen.

1) Die Klasse von $1 \over 1$ geh\"ort zu $\overline{\fr Z}$.

2) Zu jeder ganzen Zahl haben wir einen Nachfolger eindeutig
erkl\"art.

3) Er ist stets von der Klasse von $1 \over 1$ verschieden, da stets
$$x' \ne 1.$$

4) Stimmen die Klassen von $x' \over 1$ und $y' \over 1$ \"uberein, so ist
$${x' \over 1} \sim {y' \over 1},$$
$$x' = y',$$
$$x = y,$$
$${x \over 1} \sim {y \over 1},$$
und die Klassen von $x \over 1$ und $y \over 1$ stimmen \"uberein.

5) Eine Menge $\overline{\fr M}$ von ganzen Zahlen habe die Eigenschaften:

I) Die Klasse von $1 \over 1$ geh\"ort zu $\overline{\fr M}$.

II) Falls die Klasse von $x \over 1$ zu $\overline{\fr M}$ geh\"ort, so geh\"ort die Klasse
von $x'\over 1$ zu $\overline{\fr M}$.

Dann bezeichne $\fr M$ die Menge der $x$, f\"ur die die Klasse von
$x \over 1$ zu $\overline{\fr M}$ geh\"ort.  Alsdann ist $1$ zu $\fr M$ und mit jedem $x$ von $\fr M$ auch
$x'$ zu $\fr M$ geh\"orig.  Also geh\"ort jede nat\"urliche Zahl zu $\fr M$, also
jede ganze Zahl zu $\overline{\fr M}$.
\bigskip

Da $=$, $>$, $<$, Summe und Produkt (nach Satz 111 und 112)
den alten Begriflen entsprechen, haben die ganzen Zahlen alle
Eigenschaften, die wir in Kapitel 1 f\"ur die nat\"urlichen Zahlen be%
wiesen haben.

Daher werfen wir die nat\"urlichen Zahlen weg, ersetzen sie
durch die entsprechenden ganzen Zahlen und haben fortan (da auch
die Br\"uche \"uberfi\"ussig werden) in bezug auf das Bisherige nur von
rationalen Zahlen zu reden.  (Die nat\"urlichen Zahlen verbleiben
paarweise \"uber und unter dem Strich im Begriff des Bruches, und
die Br\"uche bleiben als Individuen der Menge, die rationale Zahl
hei{\ss}t.)
\medskip

{\bf Definition 26:} {\it {\rm (Das frei gewordene Zeichen)} $x$ bezeichnet die ganze
Zahl, die durch die Klasse von $x \over 1$ gegeben ist.}

In unserer neuen Sprache ist also z.~B.
$$X \cdot 1 = X;$$
denn
$${x_1 \over x_2} \cdot {1 \over 1} \sim {x_1 \cdot 1 \over x_2 \cdot 1} \sim {x_1 \over x_2}.$$
\medskip

{\bf Satz 114:} {\it Ist $Z$ die zum Bruch $x \over y$ geh\"orige rationale Zahl, so ist
$$yZ = x.$$}%

{\bf Beweis:} $${y \over 1}{x \over y} \sim {yx \over 1 \cdot y} \sim {xy \over 1 \cdot y} \sim {x \over 1}.$$
\medskip

{\bf Definition 27:} {\it Das $U$ des Satzes 110 hei{\ss}t Quotient von $X$
durch $Y$ oder die durch Division von $X$ durch $Y$ entstehende rationale
Zahl.  Es werde mit $X \over Y$ bezeichnet {\rm (sprich: $X$ durch $Y$).}}

Sind $X$ und $Y$ ganze Zahlen, also $X = x$, $Y = y$, so be%
deutet die durch die Definitionen 26 und 27 erkl\"arte rationale Zahl
$x \over y$ nach Satz 114 die Klasse, der der Bruch $x \over y$ im alten Sinne an%
geh\"ort.  Eine Verwechselung beider Zeichen $x \over y$ ist nicht zu be%
f\"urchten, da Br\"uche in Zukunft nicht mehr gesondert vorkommen
werden; es bezeichnet fortan $x \over y$ stets eine rationale Zahl. Um%
gekehrt l\"a{\ss}t sich jede rationale Zahl in der Form $x \over y$ darstellen,
auf Grund von Satz 114 und Definition 27.
\medskip

{\bf Satz 115:} {\it Sind $X$ und $Y$ gegeben, so gibt es ein $z$ mit
$$zX > Y.$$}%

{\bf Beweis:} $Y \over X$ ist eine rationale Zahl; nach Satz 89 gibt es (in
unserer neuen Sprache) ganze Zahlen $z$, $v$ mit
$${z \over v} > {Y \over X}.$$
Nach Satz 111 ist
$$v \ge 1,$$
also nach Satz 105
$$zX = Xz = X\left({z \over v}v\right) = \left(X{z \over v}\right)v \ge \left(X{z \over v}\right) \cdot 1 = X{z \over v} > X{Y \over X} = Y.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{\sl Kapitel 3.}
\medskip

\centerline{\bf Schnitte.}
\bigskip

\centerline{{\S}~1.}
\medskip

\centerline{\bf Definition.}
\bigskip

{\bf Definition 28:} {\it Eine Menge von rationalen Zahlen hei{\ss}t Schnitt, wenn

1) sie eine rationale Zahl, aber nicht jede rationale Zahl enth\"alt;

2) jede rationale Zahl der Menge kleiner ist als jede nicht zur
Menge geh\"orige rationale Zahl;

3) in ihr keine gr\"o{\ss}te rationale Zahl vorkommt {\rm (d. h. Zahl, die
gr\"o{\ss}er als jede etwaige andere, von ihr verschiedene ist).}}

Man nennt auch die Menge Unterklasse, die Menge der nicht
in ihr enthaltenen rationalen Zahlen Oberklasse und redet ent%
sprechend von Unterzahlen und Oberzahlen.

Kleine griechische Buchstaben bedeuten durchweg, wenn nichts
anderes gesagt wird, Schnitte.
\medskip

{\bf Definition 29:} {\it $$\xi = \eta$$
{\rm (= sprich: gleich),} wenn jede Unterzahl bei $\xi$ Unterzahl bei $\eta$ und
jede Unterzahl bei $\eta$ Unterzahl bei $\xi$ ist.}

Mit anderen Worten: wenn die Mengen identisch sind.

{\it Anderenfalls
$$\xi \ne \eta$$
{\rm ($\ne$ sprich: ungleich).}}

Trivial sind die drei S\"atze:
\medskip

{\bf Satz 116:} {\it $$\xi = \xi.$$}%
\medskip

{\bf Satz 117:} {\it Aus
$$\xi = \eta$$
folgt
$$\eta = \xi.$$}%
\medskip

{\bf Satz 118:} {\it Aus
$$\xi = \eta,\quad \eta = \zeta$$
folgt
$$\xi = \zeta.$$}%
\medskip

{\bf Satz 119:} {\it Ist $X$ Oberzahl bei $\xi$ und
$$X_1 > X,$$
so ist $X_1$ Oberzahl bei $\xi$.}

{\bf Beweis:} Folgt aus 2) der Definition 28.
\medskip

{\bf Satz 120:} {\it Ist $X$ Unterzahl bei $\xi$ und
$$X_1 < X,$$
so ist $X_1$ Unterzahl bei $\xi$.}

{\bf Beweis:} Folgt aus 2) der Definition 28.

Nat\"urlich ist umgekehrt die Forderung des Satzes 120 mit
2) der Definition 28 identisch.  Um also von irgend einer Menge
rationaler Zahlen zu zeigen, da{\ss} sie ein Schnitt ist, gen\"ugt stets
der Nachweis von:

1) Sie ist nicht leer, und es gibt eine rationale Zahl, die nicht
darin liegt.

2) Mit jeder ihrer Zahlen geh\"ort jede kleinere dazu.

3) Zu jeder ihrer Zahlen gibt es in ihr eine gr\"o{\ss}ere.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~2.}
\medskip

\centerline{\bf Ordnung.}
\bigskip

{\bf Definition 30:} {\it Sind $\xi$ und $\eta$ Schnitte, so ist
$$\xi > \eta$$
{\rm ($>$ sprich: gr\"o{\ss}er als),} wenn es eine Unterzahl bei $\xi$ gibt, die Ober%
zahl bei $\eta$ ist.}
\medskip

{\bf Definition 31:} {\it Sind $\xi$ und $\eta$ Schnitte, so ist
$$\xi < \eta$$
{\rm ($<$ sprich: kleiner als),} wenn es eine Oberzahl bei $\xi$ gibt, die Unter%
zahl bei $\eta$ ist.}
\medskip

{\bf Satz 121:} {\it Aus
$$\xi > \eta$$
folgt
$$\eta < \xi.$$}%

{\bf Beweis:} Es gibt eben eine Oberzahl bei $\eta$, die Unterzahl bei
$\xi$ ist.
\medskip

{\bf Satz 122:} {\it Aus
$$\xi < \eta$$
folgt
$$\eta > \xi.$$}%

{\bf Beweis:} Es gibt eben eine Unterzahl bei $\eta$, die Oberzahl bei
$\xi$ ist.
\medskip

{\bf Satz 123:} {\it Sind $\xi$, $\eta$ beliebig, so liegt genau einer der F\"alle
$$\xi = \eta,\quad \xi > \eta,\quad \xi < \eta$$
vor.}

{\bf Beweis:} 1)
$$\xi = \eta,\quad \xi > \eta$$
sind unvertr\"aglich nach Definition 29 und Definition 30.

$$\xi = \eta,\quad \xi < \eta$$
sind unvertr\"aglich nach Definition 29 und Definition 31.

Aus
$$\xi > \eta,\quad \xi < \eta$$
w\"urde folgen, da{\ss} es eine Unterzahl $X$ bei $\xi$ gibt, die Oberzahl
bei $\eta$ ist, und eine Oberzahl $Y$ bei $\xi$, die Unterzahl bei $\eta$ ist.
Nach 2) der Definition 28 w\"are also zugleich
$$X < Y,\quad X > Y.$$

Folglich liegt h\"ochstens einer der drei F\"alle vor.

2) Ist
$$\xi \ne \eta,$$
so stimmen die Unterklassen nicht \"uberein.  Also ist entweder eine
gewisse Unterzahl bei $\xi$ Oberzahl bei $\eta$ und alsdann
$$\xi > \eta,$$
oder eine gewisse Unterzahl bei $\eta$ Oberzahl bei $\xi$ und alsdann
$$\xi < \eta.$$
\medskip

{\bf Definition 32:} {\it $$\xi \ge \eta$$
bedeutet
$$\xi > \eta\quad\hbox{\it oder}\quad \xi = \eta.$$
{\rm ($\ge$ sprich: gr\"o{\ss}er oder gleich.)}}
\medskip

{\bf Definition 32:} {\it $$\xi \le \eta$$
bedeutet
$$\xi < \eta\quad\hbox{\it oder}\quad \xi = \eta.$$
{\rm ($\le$ sprich: kleiner oder gleich.)}}
\medskip

{\bf Satz 124:} {\it Aus
$$\xi \ge \eta$$
folgt
$$\eta \le \xi.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 121.
\medskip

{\bf Satz 125:} {\it Aus
$$\xi \le \eta$$
folgt
$$\eta \ge \xi.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 122.
\medskip

{\bf Satz 126} (Transitivit\"at der Ordnung): {\it Aus
$$\xi < \eta,\quad \eta < \zeta$$
folgt
$$\xi < \zeta.$$}%

{\bf Beweis:} Es gibt eine Oberzahl $X$ bei $\xi$, die Unterzahl bei $\eta$
ist; und eine Oberzahl $Y$ bei $\eta$, die Unterzahl bei $\zeta$ ist.  Wegen
Schnitteigenschaft 2) von $\eta$ ist
$$X < Y,$$
also $Y$ Oberzahl bei $\xi$.  Daher ist
$$\xi < \zeta.$$
\medskip

{\bf Satz 127:} {\it Aus
$$\xi \le \eta,\quad \eta < \zeta\quad\hbox{\it oder}\quad \xi < \eta,\quad \eta \le \zeta$$
folgt
$$\xi < \zeta.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung klar;
sonst durch Satz 126 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 128:} {\it Aus
$$\xi \le \eta,\quad \eta \le \zeta$$
folgt
$$\xi \le \zeta.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
klar; sonst durch Satz 127 erledigt.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~3.}
\medskip

\centerline{\bf Addition.}
\bigskip

{\bf Satz 129:} {\it {\rm I)} Es seien $\xi$ und $\eta$ Schnitte.  Dann ist die Menge
der rationalen Zahlen, die sich in der Form $X + Y$ darstellen lassen,
wo $X$ Unterzahl bei $\xi$, $Y$ Unterzahl bei $\eta$ ist, ein Schnitt.

{\rm II)} Keine Zahl dieser Menge l\"a{\ss}t sich als Summe einer Oberzahl
bei $\xi$ und einer Oberzahl bei $\eta$ darstellen.}

{\bf Beweis:} 1) Geht man von irgend einer Unterzahl $X$ bei $\xi$ und
irgend einer Unterzahl $Y$ bei $\eta$ aus, so geh\"ort $X+ Y$ zur Menge.

Geht man von irgend einer Oberzahl $X_1$ bei $\xi$ und irgend einer
Oberzahl $Y_1$ bei $\eta$ aus, so ist f\"ur alle Unterzahlen $X$ bzw. $Y$ bei
$\xi$ bzw. $\eta$
$$X < X_1,\quad Y < Y_1,$$
also
$$X + Y < X_1 + Y_1,$$
$$X_1 + Y_1 \ne X + Y;$$
$X_1 + Y_1$ geh\"ort also nicht zur Menge.  Und II) ist schon mitbewiesen.

2) Es ist zu zeigen, da{\ss} jede Zahl, die kleiner als eine Zahl
der Menge ist, auch zur Menge geh\"ort.  Es sei also $X$ Unterzahl
bei $\xi$, $Y$ Unterzahl bei $\eta$ und
$$Z < X + Y.$$
Dann ist
$$(X + Y){Z \over X + Y} < (X + Y) \cdot 1,$$
also nach Satz 106
$${Z \over X + Y} < 1,$$
also nach Satz 105
$$X{Z \over X + Y} < X \cdot 1 = X$$
und
$$Y{Z \over X + Y} < Y \cdot 1 = Y;$$
nach der zweiten Schnitteigenschaft bei $\xi$ bzw. $\eta$ ist also $X{Z \over X + Y}$
bzw. $Y{Z \over X + Y}$ Unterzahl bei $\xi$ bzw. $\eta$.

Die Summe dieser beiden rationalen Zahlen ist das gegebene
$Z$, wegen

$$X{Z \over X + Y} + Y{Z \over X + Y} = (X + Y){Z \over X + Y} = Z.$$

3) Ist eine Zahl der Menge gegeben, so hat sie die Form
$X + Y$, wo $X$ Unterzahl bei $\xi$, $Y$ Unterzahl bei $\eta$ ist.  Man w\"ahle
nach der dritten Schnitteigenschaft eine Unterzahl
$$X_1 > X$$
bei $\xi$; dann ist
$$X_1 + Y > X + Y,$$
also eine Zahl der Menge $> X + Y$ vorhanden.
\medskip

{\bf Definition 34:} {\it Der in Satz 129 konstruierte Schnitt hei{\ss}t $\xi + \eta$
{\rm ($+$ sprich: plus).}  Er hei{\ss}t auch die Summe von $\xi$ und $\eta$ oder der
durch Addition von $\eta$ und $\xi$ entstehende Schnitt.}
\medskip

{\bf Satz 130} (kommutatives Gesetz der Addition):
{\it $$\xi + \eta = \eta + \xi.$$}%

{\bf Beweis:} Jedes $X + Y$ ist auch $Y + X$ und umgekehrt.
\medskip

{\bf Satz 131} (assoziatives Gesetz der Addition):
{\it $$(\xi + \eta) + \zeta = \xi + (\eta + \zeta).$$}%

{\bf Beweis:} Jedes $(X + Y) + Z$ ist auch $X + (Y+ Z)$ und umgekehrt.
\medskip

{\bf Satz 132:} {\it Bei jedem Schnitt gibt es, wenn $A$ gegeben ist, eine
Unterzahl $X$ und eine Oberzahl $U$ mit
$$U - X = A.$$}%

{\bf Beweis:} $X_1$ sei irgend eine Unterzahl.  Wir betrachten alle
rationalen Zahlen
$$X_1 + nA,$$
wo $n$ ganz ist.  Sie sind nicht lauter Unterzahlen; denn ist Y
irgend eine Oberzahl, so ist
$$Y > X_1$$
also nach Satz 115 bei passendem $n$
$$nA > Y - X_1,$$
$$X_1 + nA > (Y - X_1) + X_1 = Y,$$
also $X_1 + nA$ Oberzahl.

In der Menge der $n$, f\"ur die $X_1 + nA$ Oberzahl ist, gibt es
nach Satz 27 eine kleinste ganze Zahl; sie hei{\ss}e $u$.

Ist
$$u = 1,$$
so setze man
$$X = X_1,\quad U = X_1 + A;$$
ist
$$u > 1,$$
so setze man
$$X = X_1 + (u - 1)A,\quad U = X_1 + uA = X + A.$$
Jedesmal ist $X$ Unterzahl, $U$ Oberzahl und
$$U - X = A.$$
\medskip

{\bf Satz 133:} {\it $$\xi + \eta > \xi.$$}%

{\bf Beweis:} $Y$ sei eine Unterzahl bei $\eta$.  Nach Satz 132 w\"ahle
man eine Unterzahl $X$ bei $\xi$ und eine Oberzahl $U$ bei $\xi$ mit
$$U - X = Y$$
dann ist
$$U = X + Y$$
Oberzahl bei $\xi$ und Unterzahl bei $\xi + \eta$.  Daher ist
$$\xi + \eta > \xi.$$
\medskip

{\bf Satz 134:} {\it Aus
$$\xi > \eta$$
folgt
$$\xi + \zeta > \eta + \zeta.$$}%

{\bf Beweis:} Es gibt eine Oberzahl $Y$ bei $\eta$, die Unterzahl bei $\xi$
ist.  Man w\"ahle eine gr\"o{\ss}ere Unterzahl
$$X > Y$$
bei $\xi$; $X$ ist also Oberzahl bei $\eta$.  Nach Satz 132 w\"ahle man bei
$\zeta$ eine Oberzahl $Z$ und eine Unterzahl $U$ mit
$$Z - U = X - Y.$$
Dann ist
$$Y + Z = Y + ((X - Y) + U) = (Y + (X - Y)) + U = X + U,$$
also Unterzahl bei $\xi + \zeta$ und (nach Satz 129, II)) Oberzahl bei $\eta + \zeta$.
Daher ist
$$\xi + \zeta > \eta + \zeta.$$
\medskip

{\bf Satz 135:} {\it Aus
$$\xi > \eta\quad\hbox{\it bzw.}\quad \xi = \eta\quad\hbox{\it bzw.}\quad \xi < \eta$$
folgt
$$\xi + \zeta > \eta + \zeta\quad\hbox{\it bzw.}\quad \xi + \zeta = \eta + \zeta\quad\hbox{\it bzw.}\quad \xi + \zeta < \eta + \zeta.$$}%

{\bf Beweis:} Der erste Teil ist Satz 134, der zweite klar, der
dritte eine Folge des ersten wegen
$$\eta > \xi,$$
$$\eta + \zeta > \xi + \zeta,$$
$$\xi + \zeta < \eta + \zeta.$$
\medskip

{\bf Satz 136:} {\it Aus
$$\xi + \zeta > \eta + \zeta\quad\hbox{\it bzw.}\quad \xi + \zeta = \eta + \zeta\quad\hbox{\it bzw.}\quad \xi + \zeta < \eta + \zeta$$
folgt
$$\xi > \eta\quad\hbox{\it bzw.}\quad \xi = \eta\quad\hbox{\it bzw.}\quad \xi < \eta.$$}%

{\bf Beweis:} Folgt aus Satz 135, da die drei F\"alle beide Male
sich ausschlie{\ss}en und alle M\"oglichkeiten ersch\"opfen.
\medskip

{\bf Satz 137:} {\it Aus
$$\xi > \eta,\quad \zeta > \upsilon$$
folgt
$$\xi + \zeta > \eta + \upsilon.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 134 ist
$$\xi + \zeta > \eta + \zeta$$
und
$$\eta + \zeta = \zeta + \eta > \upsilon + \eta = \eta + \upsilon,$$
also
$$\xi + \zeta > \eta + \upsilon.$$
\medskip

{\bf Satz 138:} {\it Aus
$$\xi \ge \eta,\quad \zeta > \upsilon\quad\hbox{\it oder}\quad \xi > \eta,\quad \zeta \ge \upsilon$$
folgt
$$\xi + \zeta > \eta + \upsilon.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
durch Satz 134, sonst durch Satz 137 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 139:} {\it Aus
$$\xi \ge \eta,\quad \zeta \ge \upsilon$$
folgt
$$\xi + \zeta \ge \eta + \upsilon.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
klar; sonst durch Satz 138 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 140: Ist
$$\xi > \eta,$$
so hat
$$\eta + \upsilon = \xi$$
genau eine L\"osung $\upsilon$.}

{\bf Vorbemerkung:} F\"ur
$$\xi \le \eta$$
gibt es nach Satz 133 keine L\"osung.

{\bf Beweis:} I) Es gibt h\"ochstens eine L\"osung; denn f\"ur
$$\upsilon_1 \ne \upsilon_2$$
ist nach Satz 135
$$\eta + \upsilon_1 \ne \eta + \upsilon_2.$$

II) Ich zeige zun\"achst, da{\ss} die Menge der rationalen Zahlen
der Form $X - Y$ (also $X > Y$), wo $X$ Unterzahl bei $\xi$, $Y$ Oberzahl
bei $\eta$ ist, einen Schnitt bildet.

1) Wir wissen aus dem Anfang des Beweises des Satzes 134,
da{\ss} es ein solches $X - Y$ gibt.

Keine Oberzahl $X_1$ bei $\xi$ ist ein solches $X - Y$; denn f\"ur jede
Zahl dieser form ist
$$X - Y < (X - Y) + Y = X < X_1.$$

2) Ist ein $X - Y$ obiger Art gegeben und
$$U < X - Y,$$
so ist
$$U + Y < (X - Y) + Y = X,$$
also
$$U + Y = X_2$$
Unterzahl bei $\xi$,
$$U = X_2 - Y$$
zu unserer Menge geh\"orig.

3) Ist ein $X - Y$ obiger Art gegeben, so w\"ahle man bei $\xi$ eine
Unterzahl
$$X_3 > X.$$
Dann ist
$$(X_3 - Y) + Y > (X - Y) + Y,$$
$$X_3 - Y > X - Y,$$
also $X_3 - Y$ eine gr\"o{\ss}ere Zahl unserer Menge als die gegebene
$X - Y$.

Unsere Menge ist also ein Schnitt; er hei{\ss}e $\upsilon$.

Von ihm werden wir
$$\eta + \upsilon = \xi$$
beweisen. Hierzu gen\"ugt es, zweierlei zu zeigen:

A) Jede Unterzahl bei $\upsilon + \eta$ ist Unterzahl bei $\xi$.

B) Jede Unterzahl bei $\xi$ ist Unterzahl bei $\upsilon + \eta$.

Ad A) Jede Unterzahl bei $\upsilon + \eta$ hat die Form
$$(X - Y) + Y_1,$$
wo $X$ Unterzahl bei $\xi$, $Y$ Oberzahl bei $\eta$, $Y_1$ Unterzahl bei $\eta$ und
$$X > Y$$
ist.  Nun ist
$$Y > Y_1,$$
$$\bigl((X - Y) + Y_1\bigr) + (Y - Y_1) = (X - Y) + \bigl(Y_1 + (Y - Y_1)\bigr) = (X - Y) + Y = X,$$
$$(X - Y) + Y_1 < X,$$
also $(X - Y) + Y_1$ Unterzahl bei $\xi$.

\ifx\fr\undefined
  \font\teneufm=eufm10 \font\seveneufm=eufm7 \font\fiveeufm=eufm5
  \csname newfam\endcsname\eufmfam
  \textfont\eufmfam=\teneufm \scriptfont\eufmfam=\seveneufm \scriptscriptfont\eufmfam=\fiveeufm
  \def\fr{\fam\eufmfam}
\fi

Ad B) $\fr a$) Die gegebene Unterzahl bei $\xi$ sei zugleich Oberzahl
bei $\eta$ und hei{\ss}e alsdann $Y$.  Man w\"ahle eine Unterzahl $X$ bei $\xi$ mit
$$X > Y$$
und nach Satz 132 bei $\eta$ eine Unterzahl $Y_1$ und eine Oberzahl
$Y_2$ mit
$$Y_2 - Y_1 = X - Y.$$
Dann ist
$$Y > Y_1,$$
also
$$\displaylines{Y_2 + (Y - Y_1) = \bigl((X - Y) + Y_1\bigr) + (Y - Y_1) = (X - Y) + \bigl(Y_1 + (Y - Y_1)\bigr)\cr
= (X - Y) + Y = X,\cr}$$
$$Y - Y_1 = X - Y_2,$$
$$Y = (Y - Y_1) + Y_1 = (X - Y_2) + Y_1,$$
also $Y$ Unterzahl bei $\upsilon + \eta$.

$\fr b$) Ist die gegebene Unterzahl bei $\xi$ Unterzahl bei $\eta$, so ist
sie kleiner als jede in $\fr a$) als Unterzahl bei $\upsilon + \eta$ nachgewiesene
rationale Zahl, also selbst Unterzahl bei $\upsilon + \eta$.
\medskip

{\bf Definition 35:} {\it Das $\upsilon$ des Satzes 140 hei{\ss}t $\xi - \eta$ {\rm ($-$ sprich:
minus).}  $\xi - \eta$ hei{\ss}t auch die Differenz $\xi$ minus $\eta$ oder der durch
Subtraktion des $\eta$ von $\xi$ entstehende Schnitt.}
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~4.}
\medskip

\centerline{\bf Multiplikation.}
\bigskip

{\bf Satz 141:} {\it {\rm I)} Es seien $\xi$ und $\eta$ Schnitte.  Dann ist die Menge
der rationalen Zahlen, die sich in der Form $XY$ schreiben lassen, wo
$X$ Unterzahl bei $\xi$, $Y$ Unterzahl bei $\eta$ ist, ein Schnitt.

{\rm II)} Keine Zahl dieser Menge l\"a{\ss}t sich als Produkt einer Oberzahl
bei $\xi$ und einer Oberzahl bei $\eta$ darstellen.}

{\bf Beweis:} 1) Geht man von irgend einer Unterzahl $X$ bei $\xi$ und
irgend einer Unterzahl $Y$ bei $\eta$ aus, so geh\"ort $XY$ zur Menge.

Geht man von irgend einer Oberzahl $X_1$ bei $\xi$ und irgend einer
Oberzahl $Y_1$ bei $\eta$ aus, so ist f\"ur alle Unterzahlen $X$ bzw. $Y$ bei
$\xi$ bzw. $\eta$
$$X < X_1,\quad Y < Y_1,$$
also
$$XY < X_1 Y_1,$$
$$X_1 Y_1 \ne XY;$$
$X_1 Y_1$ geh\"ort also nicht zur Menge.  Und II) ist schon mitbewiesen.

2) Es sei $X$ Unterzahl bei $\xi$, $Y$ Unterzahl bei $\eta$ und
$$Z < XY.$$
Dann ist
$$X\left({1 \over X}Z\right) = \left(X{1 \over X}\right)Z = 1 \cdot Z = Z,$$
$${Z \over X} = {1 \over X}Z < {1 \over X}(XY) = \left({1 \over X}X\right)Y = Y,$$
also $Z \over X$ Unterzahl bei $\eta$.  Die Gleichung
$$Z = X{Z \over X}$$
zeigt also, da{\ss} $Z$ zu unserer Menge geh\"ort.

3) Ist eine Zahl der Menge gegeben, so hat sie die Form $XY$,
wo $X$ Unterzahl bei $\xi$, $Y$ Unterzahl bei $\eta$ ist.  Man w\"ahle bei $\xi$
eine Unterzahl
$$X_1 > X;$$
dann ist
$$X_1 Y > XY,$$
also eine Zahl der Menge $> XY$ vorhanden.
\medskip

{\bf Definition 36:} {\it Der in Satz 141 konstruierte Schnitt hei{\ss}t $\xi \cdot \eta$
{\rm ($\cdot$ sprich: mal; aber man scbreibt den Punkt meist nicht).}  Er hei{\ss}t
auch das Produkt von $\xi$ mit $\eta$ oder der durch Multiplikation von $\xi$
mit $\eta$ entstehende Schnitt.}
\medskip

{\bf Satz 142} (kommutatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$\xi\eta = \eta\xi.$$}%

{\bf Beweis:} Jedes $XY$ ist auch $YX$ und umgekehrt.
\medskip

{\bf Satz 143} (assoziatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$(\xi\eta)\zeta = \xi(\eta\zeta).$$}%

{\bf Beweis:} Jedes $(XY)Z$ ist auch $X(YZ)$ und umgekehrt.
\medskip

{\bf Satz 144} (distributives Gesetz):
{\it $$\xi(\eta + \zeta) = \xi\eta + \xi\zeta.$$}%

{\bf Beweis:} I) Jede Unterzahl bei $\xi(\eta + \zeta)$ ist
$$X(Y + Z) = XY + XZ,$$
wo $X$, $Y$, $Z$ bzw. Unterzahlen bei $\xi$, $\eta$, $\zeta$ sind.  Die Zahl $XY + XZ$
ist Unterzahl bei $\xi\eta + \xi\zeta$.

II) Jede Unterzahl bei $\xi\eta + \xi\zeta$ hat die Form
$$XY + X_1 Z,$$
wo $X$, $Y$, $X_1$, $Z$ bzw. Unterzahlen bei $\xi$, $\eta$, $\xi$, $\zeta$ sind.  Im Falle
$X \ge X_1$ sei die Zahl $X$, im Falle $X \le X_1$ die Zahl $X_1$ mit $X_2$ be%
zeichnet.  Dann ist $X_2$ Unterzahl bei $\xi$, also $X_2 (Y + Z)$ Unterzahl
bei $\xi(\eta + \zeta)$.  Aus
$$XY \le X_2 Y,$$
$$X_1 Z \le X_2 Z$$
folgt
$$XY + X_1 Z \le X_2 Y + X_2 Z = X_2 (Y + Z);$$
also ist $XY + X_1 Z$ Unterzahl bei $\xi(\eta + \zeta)$.
\medskip

{\bf Satz 145:} {\it Aus
$$\xi > \eta\quad\hbox{bzw.}\quad \xi = \eta\quad\hbox{bzw.}\quad \xi < \eta$$
folgt
$$\xi\zeta > \eta\zeta\quad\hbox{bzw.}\quad \xi\zeta = \eta\zeta\quad\hbox{bzw.}\quad \xi\zeta < \eta\zeta.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Aus
$$\xi > \eta$$
folgt nach Satz 140 bei passendem $\upsilon$
$$\xi = \eta + \upsilon,$$
also
$$\xi\zeta = (\eta + \upsilon)\zeta = \eta\zeta + \upsilon\zeta > \eta\zeta.$$

2) Aus
$$\xi = \eta$$
folgt nat\"urlich
$$\xi\zeta = \eta\zeta.$$

3) Aus
$$\xi < \eta$$
folgt
$$\eta > \xi,$$
also nach 1)
$$\eta\zeta > \xi\zeta,$$
$$\xi\zeta < \eta\zeta.$$
\medskip

{\bf Satz 146:} {\it Aus
$$\xi\zeta > \eta\zeta\quad\hbox{bzw.}\quad \xi\zeta = \eta\zeta\quad\hbox{bzw.}\quad \xi\zeta < \eta\zeta$$
folgt
$$\xi > \eta\quad\hbox{bzw.}\quad \xi = \eta\quad\hbox{bzw.}\quad \xi < \eta.$$}%

{\bf Beweis}: Folgt aus Satz 145, da die drei F\"alle beide Male
sich ausschlie{\ss}en und alle M\"oglichkeiten ersch\"opfen.
\medskip

{\bf Satz 147:} {\it Aus
$$\xi > \eta,\quad \zeta > \upsilon$$
folgt
$$\xi\zeta > \eta\upsilon.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 145 ist
$$\xi\zeta > \eta\zeta$$
und
$$\eta\zeta = \zeta\eta > \upsilon\eta = \eta\upsilon,$$
also
$$\xi\zeta > \eta\upsilon.$$
\medskip

{\bf Satz 148:} {\it Aus
$$\xi \ge \eta,\quad \zeta > \upsilon\quad\hbox{\it oder}\quad \xi > \eta,\quad \zeta \ge \upsilon$$
folgt
$$\xi\zeta > \eta\upsilon.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
durch Satz 145, sonst durch Satz 147 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 149:} {\it Aus
$$\xi \ge \eta,\quad \zeta \ge \upsilon$$
folgt
$$\xi\zeta \ge \eta\upsilon.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
klar; sonst durch Satz 148 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 150:} {\it F\"ur jede rationale Zahl $R$ bildet die Menge der ratio-
nalen Zahlen $< R$ einen Schnitt.}

{\bf Beweis:} 1) Nach Satz 90 gibt es ein $X < R$.  $R$ selbst ist
nicht $< R$.

2) Ist
$$X < R,\quad X_1 \ge R,$$
so ist
$$X < X_1.$$

3) Ist
$$X < R,$$
so gibt es nach Satz 91 ein $X_1$ mit
$$X < X_1 < R.$$
\medskip

{\bf Definition 37:} {\it Der in Satz 150 konstruierte Schnitt hei{\ss}t $R^*$.}

(Gro{\ss}e lateinische Buchstaben mit Sternen bedeuten also Schnitte,
nicht rationale Zahlen.)
\medskip

{\bf Satz 151:} {\it $$\xi \cdot 1^* = \xi.$$}%

{\bf Beweis:} $\xi \cdot 1^*$ ist die Menge aller $XY$, wo $X$ Unterzahl bei
$\xi$ und
$$Y < 1$$
ist.

Jedes solche $XY$ ist $< X$, also Unterzahl bei $\xi$.

Umgekehrt sei eine Unterzahl $X$ bei $\xi$ gegeben.  Dann w\"ahle
man bei $\xi$ eine Unterzahl
$$X_1 > X$$
und setze
$$Y = {1 \over X_1}X.$$
Dann ist
$$Y < {1 \over X_1}X_1 = 1$$
also
$$X = X_1 Y$$
Unterzahl bei $\xi \cdot 1^*$.
\medskip

{\bf Satz 152:} {\it Ist $\xi$ gegeben, so hat die Gleichung
$$\xi\upsilon = 1^*$$
eine l\"osung $\upsilon$.}

{\bf Beweis:} Wir betrachten die Menge aller Zahlen $1 \over X$, wo $X$
eine beliebige Oberzahl bei $\xi$ mit etwaiger Ausnahme der kleinsten
(wenn es n\"amlich eine gibt) ist.  Wir zeigen, da{\ss} diese Menge ein
Schnitt ist.

1) Es gibt eine Zahl der Menge; denn wenn $X$ eine Oberzahl
bei $\xi$ ist, ist $X + X$ auch eine, aber nicht die kleinste, also $1 \over X + X$
zur Menge geh\"orig.

Es gibt eine rationale Zahl, die nicht zur Menge geh\"ort; denn
ist $X_1$ irgend eine Unterzahl bei $\xi$, so ist f\"ur alle Oberzahlen $X$
bei $\xi$
$$X \ne X_1,$$
also, wegen
$$X{1 \over X} = 1 = X_1{1 \over X_1},$$
$${1 \over X} \ne {1 \over X_1};$$
$1 \over X_1$ ist daher nicht zu unserer Menge geh\"orig.

2) Ist eine Zahl $1 \over X$ unserer Menge gegeben, also $X$ Oberzahl
bei $\xi$, und
$$U < {1 \over X},$$
so ist
$$UX < {1 \over X}X = 1 = U{1 \over U},$$
also
$$X < {1 \over U},$$
also $1 \over U$ Oberzahl bei $\xi$ und nicht die kleinste; wegen
$$U{1 \over U} = 1,$$
$$U = {1 \over {1 \over U}}$$
ist also U zu unserer Menge geh\"orig.

3) Ist eine Zahl $1 \over X$ unserer Menge gegeben, also $X$ Oberzahl
bei $\xi$ und nicht die kleinste, so w\"ahle man bei $\xi$ eine Oberzahl
$$X_1 < X$$
und alsdann nach Satz 91 ein $X_2$, mit
$$X_1 < X_2 < X.$$
Dann ist $X_2$ Oberzahl bei $\xi$ und nicht die kleinste; aus
$$X_2{1 \over X} < X{1 \over X} = 1 = X_2{1 \over X_2}$$
folgt
$${1 \over X_2} > {1 \over X},$$
so da{\ss} wir eine Zahl unserer Menge gefunden haben, die gr\"o{\ss}er
ist als die gegebene.

Unsere Menge ist also ein Schnitt: er hei{\ss}e $\upsilon$.

Von ihm werden wir
$$\xi\upsilon = 1^*$$
beweisen.  Hierzu gen\"ugt es, zweierlei zu zeigen:

A) Jede Unterzahl bei $\xi\upsilon$ ist $< 1$.

B) Jede rationale Zahl $< 1$ ist Unterzahl bei $\xi\upsilon$.

Ad A) Jede Unterzahl bei $\xi\upsilon$ hat die Form
$$X{1 \over X_1},$$
wo $X$ Unterzahl bei $\xi$, $X_1$ Oberzahl bei $\xi$ ist.  Aus
$$X < X_1$$
folgt
$$X{1 \over X_1} < X_1{1 \over X_1} = 1.$$

Ad B) Es sei
$$U < 1.$$
Wir w\"ahlen irgend eine Unterzahl $X$ bei $\xi$ und dann nach Satz
132 eine Unterzahl $X_1$ bei $\xi$ und eine Oberzahl $X_2$ bei $\xi$ mit
$$X_2 - X_1 = (1 - U)X.$$
Dann ist
$$X_2 - X_1 < (1 - U)X_2,$$
$$(X_2 - X_1) + U X_2 < (1 - U)X_2 + U X_2 = X_2 = (X_2 - X_1) + X_1,$$
$$U X_2 < X_1,$$
$$X_2 = \left({1 \over U} U\right)X_2 = {1 \over U}(U X_2) < {1 \over U}X_1 = {X_1 \over U}.$$
$X_1 \over U$ ist also Oberzahl bei $\xi$ und nicht die kleinste.  Aus
$$U{X_1 \over U} = X_1$$
folgt
$$U = {X_1 \over {X_1 \over U}} = X_1{1 \over {X_1 \over U}};$$
hier ist $X_1$ Unterzahl bei $\xi$, $1 \over {X_1 \over U}$ Unterzahl bei $\upsilon$; also ist $U$ Unter%
zahl bei $\xi\upsilon$.
\medskip

{\bf Satz 153:} {\it Die Gleichung
$$\eta\upsilon = \xi,$$
wo $\xi$, $\eta$ gegeben sind, hat genau eine L\"osung $\upsilon$.}

{\bf Beweis:} I) Es gibt h\"ochstens eine L\"osung; denn f\"ur
$$\upsilon_1 \ne \upsilon_2$$
ist nach Satz 145
$$\eta\upsilon_1 \ne \eta\upsilon_2.$$

II) Ist $\tau$ die durch Satz 152 als vorhanden nachgewiesene L\"o-
sung von
$$\eta\tau = 1^*,$$
so gen\"ugt
$$\upsilon = \tau\xi$$
unserer Gleichung; denn nach Satz 151 ist
$$\eta\upsilon = \eta(\tau\xi) = (\eta\tau)\xi = 1^* \xi = \xi.$$
\medskip

{\bf Definition 38:} {\it Das $\upsilon$ des Satzes 153 hei{\ss}t $\xi \over \eta$ {\rm (sprich: $\xi$ durch
$\eta$).}  $\xi \over \eta$ hei{\ss}t auch der Quotient von $\xi$ durch $\eta$ oder der durch Division
von $\xi$ durch $\eta$ entstehende Schnitt.}
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~5.}
\medskip

\centerline{\bf Rationale Schnitte und ganze Schnitte.}
\bigskip

{\bf Definition 39:} {\it Ein Schnitt der Form $X^*$ hei{\ss}t rationaler Schnitt.}
\medskip

{\bf Definition 40:} {\it Ein Schnitt der Form $x^*$ hei{\ss}t ganzer Schnitt.}

(Kleine lateinische Buchstaben mit Sternen bedeuten also
Schnitte, nicht ganze Zahlen.)
\medskip

{\bf Satz 154:} {\it Aus
$$X > Y \quad\hbox{\it bzw.}\quad X = Y \quad\hbox{\it bzw.}\quad X < Y$$
folgt
$$X^* > Y^* \quad\hbox{\it bzw.}\quad X^* = Y^* \quad\hbox{\it bzw.}\quad X^* < Y^*$$
und umgekehrt.}

{\bf Beweis:} I) 1) Aus
$$X > Y$$
folgt, da{\ss} $Y$ Unterzahl bei $X^*$ ist.  $Y$ ist Oberzahl bei $Y^*$.  Also
$$X^* > Y^*.$$

2) Aus
$$X = Y$$
folgt nat\"urlich
$$X^* = Y^*.$$

3) Aus
$$X < Y$$
folgt
$$Y > X,$$
also nach 1)
$$Y^* > X^*,$$
$$X^* < Y^*.$$

II) Die Umkehrung ist klar, da die drei F\"alle beide Male sich
ausschlie{\ss}en und alle M\"oglichkeiten ersch\"opfen.
\medskip

{\bf Satz 155:} {\it $${(X + Y)}^* = X^* + Y^*;$$
$${(X - Y)}^* = X^* - Y^*,\quad\hbox{\it falls}\quad X > Y;$$
$${(XY)}^* = X^* Y^*;$$
$${\left({X \over Y}\right)}^* = {X^* \over Y^*}.$$}%

{\bf Beweis:} I) $\fr a$) Jede Unterzahl bei $X^* + Y^*$ ist die Summe einer
rationalen Zahl $< X$ und einer rationalen Zahl $< Y$; sie ist also
$< X + Y$, also Unterzahl bei ${(X + Y)}^*$.

$\fr b$) Jede Unterzahl $U$ bei ${(X + Y)}^*$ ist $< X + Y$.  Aus
$${U \over X + Y} < 1,$$
$$U = X{U \over X + Y} + Y{U \over X + Y}$$
folgt, da{\ss} $U$ Summe einer rationalen Zahl $< X$ und einer ratio%
nalen Zahl $< Y$ ist, also Unterzahl bei $X^* + Y^*$ ist.

Daher ist
$${(X + Y)}^* = X^* + Y^*.$$

II) Aus
$$X > Y$$
folgt
$$X = (X - Y) + Y,$$
also nach I)
$$X^* = {(X - Y)}^* + Y^*,$$
$${(X - Y)}^*= X^* - Y^*.$$

III) $\fr a$) Jede Unterzahl bei $X^* Y^*$ ist Produkt einer rationalen
Zahl $< X$ und einer rationalen Zahl $< Y$; sie ist also $< XY$,
also Unterzahl bei ${(XY)}^*$.

$\fr b$) Jede Unterzahl $U$ bei ${(XY)}^*$ ist $< XY$. Es werde nach
Satz 91 eine rationale Zahl $U_1$ mit
$$U < U_1 < XY$$
gew\"ahlt.  Dann ist
$${U \over U_1} < 1$$
und
$${U_1 \over Y} < X.$$
Durch
$$U = {U_1 \over Y}\left(Y{U \over U_1}\right)$$
ist also $U$ als das Produkt einer Unterzahl bei $X^*$ und einer Unter%
zahl bei $Y^*$ dargestellt.  $U$ ist also Unterzahl bei $X^* Y^*$.

Daher ist
$${(XY)}^*= X^* Y^*.$$

IV) $$X = {X \over Y}Y,$$
also nach III)
$$X^* = {\left({X \over Y}\right)}^* Y^*,$$
$${\left({X \over Y}\right)}^* = {X^* \over Y^*}.$$
\medskip

{\bf Satz 156:} {\it Die ganzen Schnitte gen\"ugen den f\"unf Axiomen der
nat\"urlichen Zahlen, wenn $1^*$ an Stelle von $1$ genommen wird und
$$(x^*)' = (x')^*$$
gesetzt wird.}

{\bf Beweis:} ${\fr Z}^*$ sei die Menge der ganzen Schnitte.

1) $1^*$ geh\"ort zu ${\fr Z}^*$.

2) Zu $x^*$ ist $(x^*)'$ in ${\fr Z}^*$ vorhanden.

3) Stets ist
$$x' \ne 1,$$
also
$$(x')^* \ne 1^*,$$
$$(x^*)' \ne 1^*.$$

4) Aus
$$(x^*)' = (y^*)'$$
folgt
$$(x')^* = (y')^*,$$
$$x' = y',$$
$$x = y,$$
$$x^* = y^*.$$

5) Eine Menge ${\fr M}^*$ von ganzen Schnitten habe die Eigen%
schaften:

I) $1^*$ geh\"ort zu ${\fr M}^*$.

II) Falls $x^*$ zu ${\fr M}^*$ geh\"ort, so geh\"ort $(x^*)'$ zu ${\fr M}^*$.

Dann bezeichne $\fr M$ die Menge der $x$, f\"ur die $x^*$ zu ${\fr M}^*$ geh\"ort.
Alsdann ist $1$ zu $\fr M$ geh\"orig und mit jedem $x$ von $\fr M$ auch $x'$ zu
$\fr M$ geh\"orig.  Also geh\"ort jede ganze Zahl zu $\fr M$, also jeder ganze
Schnitt zu ${\fr M}^*$.
\bigskip

Da $=$, $>$, $<$, Summe, Differenz (wofern vorhanden), Produkt
und Quotient bei rationalen Schnitten nach Satz 154 und Satz 155
den alten Begriffen entsprechen, haben die rationaleh Schnitte alle
Eigenschaften, die wir in Kapitel 2 f\"ur rationale Zahlen bewiesen
haben, und insbesondere die ganzen Schnitte alle bewiesenen Eigen%
schaften der ganzen Zahlen.

Daher werfen wir die rationalen Zahlen weg, ersetzen sie
durch die entsprechenden rationalen Schnitte und haben fortan in
bezug auf das Bisherige nur noch von Schnitten zu reden.  (Die
rationalen Zahlen verbleiben aber in Mengen beim Begriff des
Schnittes.)
\medskip

{\bf Definition 41:} {\it {\rm (Das freigewordene Zeichen)} $X$ bezeichnet den
rationalen Schnitt $X^*$, auf den auch das Wort rationale Zahl \"uber%
geht; ebenso geht das Wort ganze Zahl auf die ganzen Schnitte \"uber.}

Also schreiben wir jetzt z. B. statt
$$\xi{1^* \over \xi} = 1^*$$
einfach
$$\xi{1 \over \xi} = 1.$$
\medskip

{\bf Satz 157:} {\it Die rationalen Zahlen sind die Schnitte, bei denen es
eine kleinste Oberzahl X gibt.  Und zwar ist alsdann X der Schnitt.}

{\bf Beweis:} 1) Beim Schnitt $X$ (dem alten $X^*$) ist $X$ (rationale
Zahl im alten Sinne) kleinste Oberzahl.

2) Gibt es bei einem Schnitt $\xi$ eine kleinste Oberzahl $X$, so
ist jede Unterzahl $< X$, jede Oberzahl $\ge X$, der Schnitt also $X$
(das alte $X^*$).
\medskip

{\bf Satz 158:} {\it Es sei $\xi$ ein Schnitt.  Dann ist $X$ Unterzahl genau
dann, wenn
$$X < \xi,$$
also Oberzahl genau dann, wenn
$$X \ge \xi.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Ist $X$ Unterzahl bei $\xi$, so ist, da $X$ Oberzahl bei
$X$ (dem alten $X^*$) ist,
$$X < \xi.$$

2) Ist $X$ Oberzahl bei $\xi$ und zwar die kleinste, so ist nach
Satz 157
$$X = \xi.$$

3) Ist $X$ Oberzahl bei $\xi$ und zwar nicht die kleinste, so w\"ahle
man eine kleinere Oberzahl $X_1$.  Dann ist $X_1$ Unterzahl bei $X$,
also
$$X > \xi.$$
\medskip

{\bf Satz 159:} {\it Ist
$$\xi < \eta,$$
so gibt es ein $Z$ mit
$$\xi < Z < \eta.$$}%

{\bf Beweis:} Man w\"ahle eine Oberzahl $X$ bei $\xi$, die Unterzahl bei
$\eta$ ist, und dann eine gr\"o{\ss}ere Unterzahl $Z$ bei $\eta$.  Dann ist nach
Satz 158
$$\xi \le X < Z < \eta.$$
\medskip

{\bf Satz 160:} {\it Jedes
$$Z > \xi\eta$$
l\"a{\ss}t sich auf die Form bringen
$$Z = XY,\quad X \ge \xi,\quad Y \ge \eta.$$}%

{\bf Beweis:} Es bezeichne $\zeta$ den kleinsten der beiden Schnitte $1$ und
$Z - \xi\eta \over (\xi + \eta) + 1$.  Dann ist
$$\zeta \le 1,\quad \zeta \le {Z - \xi\eta \over (\xi + \eta) + 1}.$$

Man w\"ahle $Z_1$ und $Z_2$ nach Satz 159 mit
$$\xi < Z_1 < \xi + \zeta,\quad \eta < Z_2 < \eta + \zeta.$$
Dann ist
$$\displaylines{Z_1 Z_2 < (\xi + \zeta)(\eta + \zeta) = (\xi + \zeta)\eta + (\xi + \zeta)\zeta \le (\xi + \zeta)\eta + (\xi + 1)\zeta \cr
= (\xi\eta + \eta\zeta) + (\xi + 1)\zeta = \xi\eta + \bigl((\xi + \eta) + 1\bigr)\zeta \le \xi\eta + (Z - \xi\eta) = Z.\cr}$$

In
$$Z = {Z \over Z_2}Z_2$$
ist
$$X = {Z \over Z_2} = Z{1 \over Z_2} > (Z_1 Z_2){1 \over Z_2} = Z_1 > \xi,$$
$$Y = Z_2 > \eta,$$
also $Z$ in gew\"unschter Weise zerlegt.
\medskip

{\bf Satz 161:} {\it Bei jedem $\zeta$ hat
$$\xi\xi = \zeta$$
genau eine L\"osung.}

{\bf Beweis:} I) Es gibt h\"ochstens eine L\"osung; denn aus
$$\xi_1 > \xi_2$$
folgt
$$\xi_1 \xi_1 > \xi_2 \xi_2.$$

II) Wir betrachten die Menge der rationalen Zahlen $X$ mit
$$XX < \zeta.$$
Sie bildet einen Schnitt.  Denn:

1) Ist
$$X < 1 \quad\hbox{\rm und}\quad X < \zeta,$$
so ist
$$XX < X \cdot 1 = X < \zeta.$$

Ist
$$X \ge 1 \quad\hbox{\rm und}\quad X \ge \zeta,$$
so ist
$$XX \ge X \cdot 1 = X \ge \zeta.$$

2) Aus
$$XX < \zeta,\quad Y < X$$
folgt
$$YY < XX < \zeta.$$

3) Es sei
$$XX < \zeta.$$
Man w\"ahle $Z$ kleiner als der kleinste der beiden Schnitte $1$ und
$\zeta - XX \over X + (X + 1)$.  Dann ist
$$Z < 1,\quad Z < {\zeta - XX \over X + (X + 1)};$$
alsdann ist
$$X + Z > X$$
und
$$\displaylines{(X + Z)(X + Z) = (X + Z)X + (X + Z)Z < (XX + ZX) + (X + 1)Z\cr
= XX + \bigl(X + (X + 1)\bigr)Z < XX + (\zeta - XX) = \zeta.\cr}$$

Nennen wir den konstruierten Schnitt $\xi$, so behaupten wir
nunmehr
$$\xi\xi = \zeta.$$

W\"are
$$\xi\xi > \zeta,$$
so w\"ahlen wir $Z$ nach Satz 159 mit
$$\xi\xi > Z > \zeta.$$
Als Unterzahl bei $\xi\xi$ w\"are
$$Z = X_1 X_2,\quad X_1 < \xi,\quad X_2 < \xi;$$
wenn $X$ die gr\"o{\ss}te der Zahlen $X_1$ und $X_2$ bedeutet, w\"are
$$X < \xi,$$
$$Z \le XX < \zeta,$$
gegen das Obige.

W\"are
$$\xi\xi < \zeta,$$
so w\"ahlen wir $Z$ nach Satz 159 mit
$$\xi\xi < Z < \zeta.$$
$Z$ h\"atte nach Satz 160 die Form
$$Z = X_1 X_2,\quad X_1 \ge \xi,\quad X_2 \ge \xi;$$
wenn $X$ die kleinste der Zahlen $X_1$ und $X_2$ bedeutet, w\"are
$$X \ge \xi,$$
$$Z \ge XX \ge \zeta,$$
gegen das Obige.
\medskip

{\bf Definition 42:} {\it Jeder Schnitt, der keine rationale Zahl ist, hei{\ss}t
irrationale Zahl.}
\medskip

{\bf Satz 162:} {\it Es gibt eine irrationale Zahl.}

{\bf Beweis:} Es gen\"ugt zu zeigen, da{\ss} die nach Satz 161 vor%
handene L\"osung von
$$\xi\xi = 1'$$
irrational ist.

Sonst w\"are
$$\xi = {x \over y};$$
unter allen solchen Darstellungen w\"ahlen wir nach Satz 27 eine
solche, in der $y$ m\"oglichst klein ist.  Wegen
$$1' = \xi\xi = {x \over y} \cdot {x \over y} = {xx \over yy}$$
ist
$$yy < 1'(yy) = xx = (1'y)y < (1'y)(1'y),$$
$$y < x < 1'y.$$

Wir setzen
$$x - y = u.$$
Dann ist
$$y + u = x < 1'y = y + y,$$
$$u < y.$$

Nun ist
$$\displaylines{(v + w)(v + w) = (v + w)v + (v + w)w = (vv + wv) + (vw + ww)\cr
= \bigl(vv + 1'(vw)\bigr) + ww,\cr}$$
also,
$$y - u = t$$
gesetzt,
$$\displaylines{xx + tt = (y + u)(y + u) + tt = \bigl(yy + 1'(yu)\bigr) + (uu + tt)\cr
= \bigl(yy + (1'u)(u + t)\bigr) + (uu + tt)\cr
= \bigl(yy + 1'(uu)\bigr) + \Bigl(\bigl(1'(ut) + uu\bigr) + tt\Bigr)\cr
= \bigl(yy + 1'(uu)\bigr) + (u + t)(u + t)\cr
= \bigl(yy + 1'(uu)\bigr) + yy = 1'(yy) + 1'(uu) = xx + 1'(uu),\cr}$$
$$tt = 1'(uu),$$
$${t \over u} \cdot {t \over u} = 1',$$
gegen
$$u < y.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{\sl Kapitel 4.}
\medskip

\centerline{\bf Reelle Zahlen.}
\bigskip

\centerline{{\S}~1.}
\medskip

\centerline{\bf Definition.}
\bigskip

{\bf Definition 43:} {\it Die Schnitte nennen wir jetzt positive Zahlen;
und entsprechend sagen wir jetzt positive rationale Zahl statt bisher
rationale Zahl und positive ganze Zahl statt bisher ganze Zahl.

Wir erschaffen eine neue, von den positiven Zahlen verschiedene
Zahl $0$ {\rm (sprich: Null).}

Wir erschaffen ferner Zahlen, die von den positiven und von $0$
verschieden sind, negative genannt, derart, da{\ss} wir jedem $\xi$ {\rm (d. h. jeder
positiven Zahl)} eine negative Zahl zuordnen, die wir $-\xi$ {\rm ($-$ sprich:
minus)} nennen.

Dabei gelten $-\xi$ und $-\eta$ als dieselbe Zahl (als gleich) genau
dann, wenn $\xi$ und $\eta$ dieselbe Zahl sind.

Die Gesamtheit der positiven Zahlen, der $0$ und der negativen
Zahlen nennen wir reelle Zahlen.}

Gro{\ss}e griechische Buchstaben bedeuten, wenn nichts anderes
gesagt wird, durchweg reelle Zahlen.  Gleich schreiben wir $=$,
ungleich (verschieden) $\ne$.

\ifx\Alpha\undefined
  \let\Alpha=A \let\Beta=B \let\Zeta=Z \let\Eta=H \let\Upsilon=Y
\fi

F\"ur jedes $\Xi$ und jedes $\Eta$ liegt somit genau einer der F\"alle
$$\Xi = \Eta,\quad \Xi \ne \Eta$$
vor.  Bei den reellen Zahlen vermischen sich die Begriffe der
Identit\"at und Gleichheit, so da{\ss} die drei S\"atze trivial sind:
\medskip

{\bf Satz 163:} {\it $$\Xi = \Xi.$$}%
\medskip

{\bf Satz 164:} {\it Aus
$$\Xi = \Eta$$
folgt
$$\Eta = \Xi.$$}%
\medskip

{\bf Satz 165:} {\it Aus
$$\Xi = \Eta,\quad \Eta = \Zeta$$
folgt
$$\Xi = \Zeta.$$}%
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~2.}
\medskip

\centerline{\bf Ordnung.}
\bigskip

{\bf Definition 44:}
{\it $$|\Xi| = \cases{\xi,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi = \xi,\cr
0,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi = 0,\cr
\xi,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi = -\xi.\cr}$$
Die Zahl $|\Xi|$ hei{\ss}t der absolute Betrag von $\Xi$.}
\medskip

{\bf Satz 166:} {\it $|\Xi|$ ist f\"ur positives und negatives $\Xi$ positiv.}

{\bf Beweis:} Definition 44.
\medskip

{\bf Definition 45:} {\it Sind $\Xi$ und $\Eta$ nicht beide positiv, so ist
$$\Xi > \Eta$$
genau dann, wenn\hfill\break
\centerline{entweder $\Xi$ negativ, $\Eta$ negativ und $|\Xi| < |\Eta|$,}
\centerline{oder $\Xi = 0$, $\Eta$ negativ,}
\centerline{oder $\Xi$ positiv, $\Eta$ negativ,}
\centerline{oder $\Xi$ positiv, $\Eta = 0.$}
{\rm ($>$ sprich: gr\"o{\ss}er als.)}}

Man beachte, da{\ss} wir f\"ur positives $\Xi$ nebst positivem $\Eta$ die
Begriffe $>$ und $<$ schon haben und letzteren sogar in dem einen
Falle der Definition 45 benutzten.
\medskip

{\bf Definition 46:} {\it $$\Xi < \Eta$$
genau dann, wenn
$$\Eta > \Xi.$$
{\rm ($<$ sprich: kleiner als.)}}

Man beachte, da{\ss} f\"ur positives $\Xi$ nebst positivem $\Eta$ Definition
46 im Einklang mit unseren alten Begriffen steht.
\medskip

{\bf Satz 167:} {\it Sind $\Xi$, $\Eta$ beliebig, so liegt genau einer der F\"alle
$$\Xi = \Eta,\quad \Xi > \Eta,\quad \Xi < \Eta$$
vor.}

{\bf Beweis:} 1) Sind $\Xi$ und $\Eta$ positiv, wissen wir dies aus Satz 123.

2) Ist $\Xi$ positiv, $\Eta = 0$ oder $\Eta$ negativ, so ist
$$\Xi \ne \Eta,$$
ferner nach Definition 45
$$\Xi > \Eta$$
und nach Definition 46
$$\Xi\ \hbox{\rm nicht} < \Eta.$$

3) Ist $\Xi = 0$, $\Eta$ positiv, so ist
$$\Xi \ne \Eta,$$
ferner nach Definition 45
$$\Xi\ \hbox{\rm nicht} > \Eta$$
und nach Definition 46
$$\Xi < \Eta.$$

4) Ist $\Xi = 0$, $\Eta = 0$, so ist
$$\Xi = \Eta,$$
$$\Xi\ \hbox{\rm nicht} > \Eta,$$
$$\Xi\ \hbox{\rm nicht} < \Eta.$$

5) Ist $\Xi = 0$, $\Eta$ negativ, so ist
$$\Xi \ne \Eta,$$
$$\Xi > \Eta,$$
$$\Xi\ \hbox{\rm nicht} < \Eta.$$

6) Ist $\Xi$ negativ, $\Eta$ positiv oder $\Eta = 0$, so ist
$$\Xi \ne \Eta,$$
$$\Xi\ \hbox{\rm nicht} > \Eta,$$
$$\Xi < \Eta.$$

7) Ist $\Xi$ negativ, $\Eta$ negativ, so ist

$$\vcenter{\halign{#\hfil\quad&#\hfil\quad&#\hfil\ &#\cr
$\Xi \ne \Eta$,&$\Xi > \Eta$,&$\Xi\ \hbox{\rm nicht} < \Eta$&f\"ur $|\Xi| < |\Eta|$,\cr
$\Xi = \Eta$,&$\Xi\ \hbox{\rm nicht} > \Eta$,&$\Xi\ \hbox{\rm nicht} < \Eta$&f\"ur $|\Xi| = |\Eta|$,\cr
$\Xi \ne \Eta$,&$\Xi\ \hbox{\rm nicht} > \Eta$,&$\Xi < \Eta$&f\"ur $|\Xi| > |\Eta|$.\cr}}$$
\medskip

{\bf Definition 47:} {\it $$\Xi \ge \Eta$$
bedeutet
$$\Xi > \Eta \quad\hbox{\it oder}\quad \Xi = \Eta.$$
{\rm ($\ge$ sprich: gr\"o{\ss}er oder gleich.)}}
\medskip

{\bf Definition 48:} {\it $$\Xi \le \Eta$$
bedeutet
$$\Xi < \Eta \quad\hbox{\it oder}\quad \Xi = \Eta.$$
{\rm ($\le$ sprich: kleiner oder gleich.)}}
\medskip

{\bf Satz 168:} {\it Aus
$$\Xi \ge \Eta$$
folgt
$$\Eta \le \Xi$$
und umgekehrt.}

{\bf Beweis:} Definition 46.
\medskip

{\bf Satz 169:} {\it Die positiven Zahlen sind die Zahlen $> 0$; die nega%
tiven Zahlen sind die Zahlen $< 0$.}

{\bf Beweis:} 1) Nach Definition 45 ist
$$\xi > 0.$$

2) Aus
$$\Xi > 0$$
folgt nach Definition 45
$$\Xi = \xi.$$

3) Nach Definition 46 ist
$$-\xi < 0.$$

4) Aus
$$\Xi < 0$$
folgt nach Definition 46
$$\Xi = -\xi.$$
\medskip

{\bf Satz 170:} {\it $$ |\Xi| \ge 0.$$}%

{\bf Beweis:} Definition 44, Satz 166 und Satz 169.
\medskip

{\bf Satz 171} (Transitivit\"at der Ordnung): {\it Aus
$$\Xi < \Eta,\quad \Eta < \Zeta$$
folgt
$$\Xi < \Zeta.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Es sei
$$\Zeta > 0.$$

Falls
$$\Xi > 0,$$
ist
$$\Eta > 0,$$
und wir haben den alten Satz 126.

Falls
$$\Xi \le 0,$$
ist gewi{\ss}
$$\Xi < \Zeta.$$

2) Es sei
$$\Zeta = 0.$$
Dann ist
$$\Eta < 0,$$
also
$$\Xi < 0,$$
$$\Xi < \Zeta.$$

3) Es sei
$$\Zeta < 0.$$
Dann ist
$$\Eta < 0,$$
$$\Xi < 0.$$
Ferner ist
$$|\Xi| > |\Eta|,\quad |\Eta| > |\Zeta|,$$
also
$$|\Xi| > |\Zeta|,$$
$$\Xi < \Zeta.$$
\medskip

{\bf Satz 172:} {\it Aus
$$\Xi \le \Eta,\quad \Eta < \Zeta\quad\hbox{\it oder}\quad \Xi < \Eta,\quad \Eta \le \Zeta$$
folgt
$$\Xi < \Zeta.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung klar:
sonst durch Satz 171 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 173:} {\it Aus
$$\Xi \le \Eta,\quad \Eta \le \Zeta$$
folgt
$$\Xi \le \Zeta.$$}%

{\bf Beweis:} Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
klar; sonst durch Satz 172 erledigt.
\medskip

{\bf Definition 49:} {\it Ist
$$\Xi \le 0,$$
so hei{\ss}t $\Xi$ rational, wenn
$$\Xi = 0$$
oder
$$\Xi < 0,\quad\hbox{\it $|\Xi|$ rational}.$$}%

Wir haben also jetzt positive rationale Zahlen, die rationale
Zahl $0$ und negative rationale Zahlen.
\medskip

{\bf Definition 50:} {\it Ist
$$\Xi < 0,$$
so hei{\ss}t $\Xi$ irrational, wenn es nicht rational ist.}

Wir haben also jetzt positive irrationale Zahlen und negative
irrationale Zahlen.  (Zahl{\bf en}? Ja; wir hatten ein irrationales $\xi$;
also ist die positive Zahl $\xi + X$ stets irrational, da aus
$$\xi + X = Y$$
folgen w\"urde
$$\xi = Y - X;$$
und $-(\xi + X)$ ist stets negativ irrational.)
\medskip

{\bf Definition 51:} {\it Ist
$$\Xi \le 0,$$
so hei{\ss}t $\Xi$ ganz, wenn
$$\Xi = 0$$
oder
$$\Xi < 0,\quad\hbox{\it $|\Xi|$ ganz}.$$}%

Wir haben also jetzt positive ganze Zahlen, die ganze Zahl 0
und negative ganze Zahlen.
\medskip

{\bf Satz 174:} {\it Jede ganze Zahl ist rational.}

{\bf Beweis:} F\"ur die positiven Zahlen wissen wir das; f\"ur 0 und
negative Zahlen folgt es aus Definition 49 und Definition 51.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~3.}
\medskip

\centerline{\bf Addition.}
\bigskip

{\bf Definition 52:}
{\it $$\Xi + \Eta = \cases{-(|\Xi| + |\Eta|),\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi < 0,\quad \Eta < 0;\cr
|\Xi| - |\Eta|,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi > 0,\quad \Eta < 0,\quad |\Xi| > |\Eta|;\cr
0,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi > 0,\quad \Eta < 0,\quad |\Xi| = |\Eta|;\cr
-(|\Eta| - |\Xi|),\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi > 0,\quad \Eta < 0,\quad |\Xi| < |\Eta|;\cr
\Eta + \Xi,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi < 0,\quad \Eta > 0;\cr
\Eta,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi = 0;\cr
\Xi,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Eta = 0.\cr}$$
{\rm (+ sprich: plus.)}  $\Xi + \Eta$ hei{\ss}t die Summe von $\Xi$ und $\Eta$ oder die
durch Addition von $\Eta$ zu $\Xi$ entstehende Zahl.}

Man beachte bei dieser Definition:

1) F\"ur
$$\Xi > 0,\quad \Eta > 0$$
haben wir den Begriff $\Xi + \Eta$ schon aus Definition 34.

2) Er wurde auch in Definition 52 benutzt.

3) Der dritte Fall der Definition benutzt den Begriff der
Summe im zweiten Fall.

4) Der vierte und f\"unfte Fall \"uberdecken sich, wenn
$$\Xi = \Eta = 0;$$
aber dann ist die als $\Xi + \Eta$ definierte Zahl die gleiche (n\"amlich $0$).
\medskip

{\bf Satz 175} (kommutatives Gesetz der Addition):
{\it $$\Xi + \Eta = \Eta + \Xi.$$}%

{\bf Beweis:} F\"ur
$$\Xi = 0$$
sind beide Zahlen $\Eta$; f\"ur
$$\Eta = 0$$
sind beide $\Xi$.

F\"ur
$$\Xi > 0,\quad \Eta > 0$$
liegt der alte Satz 130 vor.

F\"ur
$$\Xi < 0,\quad \Eta < 0$$
ist nach Satz 130
$$\Xi + \Eta = -(|\Xi| + |\Eta|) = -(|\Eta| + |\Xi|) = \Eta + \Xi.$$

F\"ur
$$\Xi < 0,\quad \Eta > 0$$
war die Behauptung geradezu Definition.

F\"ur
$$\Xi > 0,\quad \Eta < 0$$
ist nach dem vorangehenden Fall
$$\Eta + \Xi = \Xi + \Eta,$$
also
$$\Xi + \Eta = \Eta + \Xi.$$
\medskip

{\bf Definition 53:} {\it $$-\Xi = \cases{0 \quad\hbox{\it f\"ur}\quad \Xi = 0,\cr
|\Xi| \quad\hbox{\it f\"ur}\quad \Xi < 0.\cr}$$
{\rm ($-$ sprich: minus.)}}

Man beachte, da{\ss} wir f\"ur $\Xi > 0$ den Begriff $-\Xi$ aus Defi%
nition 43 schon haben.
\medskip

{\bf Satz 176:} {\it Ist
$$\Xi > 0 \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi = 0 \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi < 0,$$
so ist
$$-\Xi < 0 \quad\hbox{\it bzw.}\quad -\Xi = 0 \quad\hbox{\it bzw.}\quad -\Xi > 0,$$
und umgekehrt.}

{\bf Beweis:} Definition 43 und Definition 53.
\medskip

{\bf Satz 177:} {\it $$-(-\Xi) = \Xi.$$}%

{\bf Beweis:} Definitionen 43, 44 und 53.
\medskip

{\bf Satz 178:} {\it $$\left|-\Xi\right| = |\Xi|.$$}%

{\bf Beweis:} Definitionen 43, 44 und 53.
\medskip

{\bf Satz 179:} {\it $$\Xi + (-\Xi) = 0.$$}%

{\bf Beweis:} Definition 52, Definition 53 und Satz 178.
\medskip

{\bf Satz 180:} {\it $$-(\Xi + \Eta) = -\Xi + (-\Eta).$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 175 ist
$$-(\Xi + \Eta) = -(\Eta + \Xi)$$
und
$$-\Xi + (-\Eta) = -\Eta + (-\Xi);$$
daher darf ohne Beschr\"ankung der Allgemeinheit
$$\Xi \ge \Eta$$
vorausgesetzt werden; denn mindestens eine der Relationen
$$\Xi \ge \Eta,\quad \Eta \ge \Xi$$
besteht, und aus
$$-(\Eta + \Xi) = -\Eta + (-\Xi)$$
folgt eben
$$-(\Xi + \Eta) = -\Xi + (-\Eta).$$

Es sei also
$$\Xi \ge \Eta.$$

1) Ist
$$\Xi > 0,\quad \Eta > 0,$$
so ist
$$-\Xi + (-\Eta) = -(\Xi + \Eta).$$

2) Ist
$$\Xi > 0,\quad \Eta = 0,$$
so ist
$$-\Xi + (-\Eta) = -\Xi + 0 = -\Xi = -(\Xi + 0) = -(\Xi + \Eta).$$

3) Ist
$$\Xi > 0,\quad \Eta < 0,$$
so ist

entweder
$$\Xi > |\Eta|,$$
also
$$\Xi + \Eta = \Xi - |\Eta|,$$
$$-\Xi + (-\Eta) = -\Xi + |\Eta| = -(\Xi - |\Eta|) = -(\Xi + \Eta);$$

oder
$$\Xi = |\Eta|,$$
also
$$\Xi + \Eta = 0,$$
$$-\Xi + (-\Eta) = -\Xi + |\Eta| = 0 = -(\Xi + \Eta);$$

oder
$$\Xi < |\Eta|,$$
also
$$\Xi + \Eta = -(|\Eta| - \Xi),$$
$$-\Xi + (-\Eta) = -\Xi + |\Eta| = |\Eta| - \Xi = -(\Xi + \Eta);$$

4) Ist
$$\Xi = 0,$$
so ist
$$-\Xi + (-\Eta) = 0 + (-\Eta) = -\Eta = -(0 + \Eta) = -(\Xi + \Eta).$$

5) Ist
$$\Xi < 0,$$
so ist
$$\Eta < 0,$$
$$\Xi + \Eta = -(|\Xi| + |\Eta|),$$
$$-\Xi + (-\Eta) = |\Xi| + |\Eta| = -(\Xi + \Eta).$$
\medskip

{\bf Definition 54:} {\it $$\Xi - \Eta = \Xi + (-\Eta).$$
{\rm ($-$ sprich: minus.)}  $\Xi - \Eta$ hei{\ss}t die Differenz $\Xi$ minus $\Eta$ oder die
durch Subtraktion des $\Eta$ von $\Xi$ entstehende Zahl.}

Man beachte, da{\ss} Definition 54 (wie es sein mu{\ss}) f\"ur
$$\Xi > \Eta > 0$$
mit der alten Definition 35 \"ubereinstimmt; denn dann ist
$$\Xi > 0,\quad -\Eta < 0,\quad |\Xi| > \left|-\Eta\right|,\quad \Xi + (-\Eta) = |\Xi| - \left|-\Eta\right| = \Xi - \Eta.$$
\medskip

{\bf Satz 181:} {\it $$-(\Xi - \Eta) = \Eta - \Xi.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 180 und Satz 177 ist
$$\displaylines{-(\Xi + \Eta) = -\bigl(\Xi + (-\Eta)\bigr) = -\Xi + \bigl(-(-\Eta)\bigr) = -\Xi + \Eta = \Eta + (-\Xi)\cr
= \Eta - \Xi.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 182:} {\it Aus
$$\Xi - \Eta > 0 \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi - \Eta = 0 \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi - \Eta < 0$$
folgt
$$\Xi > \Eta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi = \Eta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi < \Eta$$
und umgekehrt.}

{\bf Beweis:} Da $-\Eta$ auch eine beliebige reelle Zahl ist, darf
man $-\Eta$ statt $\Eta$ schreiben und hat demnach das Entsprechen der
F\"alle bei
$$\Xi + \Eta > 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi + \Eta = 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi + \Eta < 0$$
und
$$\Xi > -\Eta \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi = -\Eta \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi < -\Eta$$
zu zeigen.

In der Tat ist f\"ur $\Xi = 0$ oder $\Eta = 0$ die Behauptung klar;
im \"ubrigen gelten im Fall
$$\Xi > 0,\quad \Eta > 0$$
und in den drei ersten F\"allen der Definition 52, wenn der dritte
in die drei Unterf\"alle
$$|\Eta| > |\Xi|,\quad |\Eta| = |\Xi|,\quad |\Eta| < |\Xi|$$
zerlegt wird, beide Male resp. die Zeichen
$$> \quad < \quad > \quad = \quad < \quad > \quad = \quad <.$$
\medskip

{\bf Satz 183:} {\it Aus
$$\Xi > \Eta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi = \Eta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi < \Eta$$
folgt
$$-\Xi < -\Eta \quad\hbox{\it bzw.}\quad -\Xi = -\Eta \quad\hbox{\it bzw.}\quad -\Xi > -\Eta$$
und umgekehrt.}

{\bf Beweis:} Nach Satz 182 entspricht ersteres den F\"allen
$$\Xi - \Eta > 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi - \Eta = 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi - \Eta < 0,$$
letzteres den F\"allen
$$-\Eta - (-\Xi) > 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad -\Eta - (-\Xi) = 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad -\Eta - (-\Xi) < 0,$$
also liefert
$$-\Eta - (-\Xi) = -\Eta + \bigl(-(-\Xi)\bigr) = -\Eta + \Xi = \Xi + (-\Eta) = \Xi - \Eta$$
alles.
\medskip

{\bf Satz 184:} {\it Jede reelle Zahl l\"a{\ss}t sich als Differenz zweier positiver
Zahlen darstellen.}

{\bf Beweis:} 1) Ist
$$\Xi > 0,$$
so ist
$$\Xi = (\Xi + 1) - 1.$$

2) Ist
$$\Xi = 0,$$
so ist
$$\Xi = 1 - 1.$$

3) Ist
$$\Xi < 0,$$
so ist
$$-\Xi = |\Xi| = (|\Xi| + 1) - 1,$$
$$\Xi = -\bigl((|\Xi| + 1) - 1\bigr) = 1 - (|\Xi| + 1).$$
\medskip

{\bf Satz 185:} {\it Aus
$$\Xi = \xi_1 - \xi_2,\quad \Eta = \eta_1 - \eta_2$$
folgt
$$\Xi + \Eta = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).$$}%

{\bf Beweis:} 1) Es sei
$$\Xi > 0,\quad \Eta > 0.$$
Dann ist, da
$$\displaylines{(\alpha + \beta) + (\gamma + \delta) = (\alpha + \beta) + (\delta + \gamma) = \bigl((\alpha + \beta) + \delta\bigr) + \gamma\cr
= \gamma + \bigl(\alpha + (\beta + \delta)\bigr) = (\gamma + \alpha) + (\beta + \delta)\cr}$$
ist,
$$(\Xi + \Eta) + (\xi_2 + \eta_2) = \xi_1 + \eta_1,$$
also die Behauptung wahr.

2) Es sei
$$\Xi < 0,\quad \Eta < 0.$$
Dann ist nach Satz 181
$$\xi_2 - \xi_1 = -\Xi > 0,\quad \eta_2 - \eta_1 = -\Eta > 0,$$
also nach 1)
$$-\Xi + (-\Eta) = (\xi_2 + \eta_2) - (\xi_1 + \eta_1),$$
$$\Xi + \Eta = -\bigl(-\Xi + (-\Eta)\bigr) = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).$$

3) Es sei
$$\Xi > 0, \Eta < 0.$$
also
$$\xi_1 - \xi_2 > 0,\quad \eta_2 - \eta_1 > 0.$$

A) Ist
$$\Xi > |\Eta|,$$
so ist
$$\xi_1 - \xi_2 > \eta_2 - \eta_1,$$
also
$$\displaylines{\xi_1 + \eta_1 = \bigl((\xi_1 - \xi_2) + \xi_2\bigr) + \eta_1 = (\xi_1 - \xi_2) + (\xi_2 + \eta_1) = (\xi_2 + \eta_1) + (\xi_1 - \xi_2)\cr
= (\xi_2 + \eta_1) + \Bigl((\eta_2 - \eta_1) + \bigl((\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1)\bigr)\Bigr)\cr
= \bigl((\xi_2 + \eta_1) + (\eta_2 - \eta_1)\bigr) + \bigl((\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1)\bigr)\cr
= \Bigl(\xi_2 + \bigl(\eta_1 + (\eta_2 - \eta_1)\bigr)\Bigr) + \bigl((\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1)\bigr)\cr
= (\xi_2 + \eta_2) + \bigl((\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1)\bigr),\cr}$$
$$(\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2) = (\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1) = \Xi - |\Eta| = \Xi + \Eta.$$

B) Ist
$$\Xi < \Eta,$$
so ist nach A)
$$\displaylines{\Xi + \Eta = -\bigl(-\Eta + (-\Xi)\bigr) = -\bigl((\eta_2 - \eta_1) + (\xi_2 - \xi_1)\bigr)\cr
= -\bigl((\eta_2 + \xi_2) - (\eta_1 + \xi_1)\bigr) = (\eta_1 + \xi_1) - (\eta_2 + \xi_2)\cr
= (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).\cr}$$

C) Ist
$$\Xi = |\Eta|,$$
also
$$\xi_1 - \xi_2 = \eta_2 - \eta_1,$$
so ist
$$\xi_1 = \xi_2 + (\eta_2 - \eta_1),$$
$$\xi_1 + \eta_1 = \xi_2 + \eta_2,$$
$$\Xi + \Eta = 0 = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).$$

4) Es Sei
$$\Xi < 0,\quad \Eta > 0.$$
Dann ist nach 3)
$$\Eta + \Xi = (\eta_1 + \xi_1) - (\eta_2 + \xi_2),$$
$$\Xi + \Eta = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).$$

5) Es sei
$$\Xi = 0.$$
Dann ist
$$\xi_1 = \xi_2,$$
$$\Xi + \Eta = \Eta.$$

a) F\"ur
$$\eta_1 > \eta_2$$
ist
$$(\eta_1 - \eta_2) + (\xi_1 + \eta_2) = \bigl((\eta_1 - \eta_2) + \eta_2) + \xi_1 = \eta_1 + \xi_1 = \xi_1 + \eta_1,$$
$$\Eta = \eta_1 - \eta_2 = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_1 + \eta_2) = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).$$

b) F\"ur
$$\eta_1 = \eta_2$$
ist
$$\Eta = 0 = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).$$

c) F\"ur
$$\eta_1 < \eta_2$$
ist nach a)
$$-\Eta = \eta_2 - \eta_1 = (\xi_2 + \eta_2) - (\xi_1 + \eta_1),$$
$$\Eta = -(-\Eta) = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).$$

6) Es sei
$$\Eta = 0.$$
Dann ist nach 5)
$$\Xi + \Eta = \Eta + \Xi = (\eta_1 + \xi_1) - (\eta_2 + \xi_2) = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).$$
\medskip

{\bf Satz 186} (assoziatives Gesetz der Addition):
{\it $$(\Xi + \Eta) + \Zeta = \Xi + (\Eta + \Zeta).$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 184 ist
$$\Xi = \xi_1 - \xi_2,\quad \Eta = \eta_1 - \eta_2,\quad \Zeta = \zeta_1 - \zeta_2.$$
Nach Satz 185 ist
$$\displaylines{(\Xi + \Eta) + \Zeta = \bigl((\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2)\bigr) + (\zeta_1 - \zeta_2)\cr
= \bigl((\xi_1 + \eta_1) + \zeta_1\bigr) - \bigl((\xi_2 + \eta_2) + \zeta_2\bigr) = \bigl(\xi_1 + (\eta_1 + \zeta_1)\bigr) - \bigl(\xi_2 + (\eta_2 + \zeta_2)\bigr)\cr
=(\xi_1 - \xi_2) + \bigl((\eta_1 + \zeta_1) - (\eta_2 + \zeta_2)\bigr) = \Xi + (\Eta + \Zeta).\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 187:} {\it Bei gegebenen $\Xi$, $\Eta$ hat
$$\Eta + \Upsilon = \Xi$$
genau eine L\"osung, n\"amlich
$$\Upsilon = \Xi - \Eta.$$}%

{\bf Beweis:} 1) $$\Upsilon = \Xi - \Eta$$
ist eine L\"osung, da nach Satz 186
$$\displaylines{\Eta + (\Xi - \Eta) = (\Xi - \Eta) + \Eta = \bigl(\Xi + (-\Eta)\bigr) + \Eta = \Xi + (-\Eta + \Eta)\cr
= \Xi + 0 = \Xi.\cr}$$

2) Aus
$$\Eta + \Upsilon = \Xi$$
folgt
$$\displaylines{\Xi - \Eta = \Xi + (-\Eta) = -\Eta + \Xi = -\Eta + (\Eta + \Upsilon) = (-\Eta + \Eta) + \Upsilon\cr
= 0 + \Upsilon = \Upsilon.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 188:} {\it Es ist
$$\Xi + \Zeta > \Eta + \Zeta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi + \Zeta = \Eta + \Zeta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi + \Zeta < \Eta + \Zeta,$$
je nachdem
$$\Xi > \Eta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi = \Eta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi < \Eta.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 182 gilt ersteres, je nachdem
$$\displaylines{(\Xi + \Zeta) - (\Eta + \Zeta) > 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad (\Xi + \Zeta) - (\Eta + \Zeta) = 0\cr
\hbox{\rm bzw.}\quad (\Xi + \Zeta) - (\Eta + \Zeta) < 0;\cr}$$
letzteres, je nachdem
$$\Xi - \Eta > 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi - \Eta = 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi - \Eta < 0.$$

Aus
$$\displaylines{(\Xi + \Zeta) - (\Eta + \Zeta) = (\Xi + \Zeta) + \bigl(-\Zeta + (-\Eta)\bigr) = \Bigl(\Xi + \bigl(\Zeta + (-\Zeta)\bigr)\Bigr) + (-\Eta)\cr
=\Xi + (-\Eta) = \Xi - \Eta\cr}$$
folgen also die Behauptungen.
\medskip

{\bf Satz 189:} {\it Aus
$$\Xi > \Eta,\quad \Zeta > \Upsilon$$
folgt
$$\Xi + \Zeta > \Eta + \Upsilon.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 188 ist
$$\Xi + \Zeta > \Eta + \Zeta$$
und
$$\Eta + \Zeta = \Zeta + \Eta > \Upsilon + \Eta = \Eta + \Upsilon,$$
also
$$\Xi + \Zeta > \Eta + \Upsilon.$$
\medskip

{\bf Satz 190:} {\it Aus
$$\Xi \ge \Eta,\quad \Zeta > \Upsilon \quad\hbox{\it oder}\quad \Xi > \Eta,\quad \Zeta \ge \Upsilon$$
folgt
$$\Xi + \Zeta > \Eta + \Upsilon.$$}%

{\bf Beweis:} Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
durch Satz 188, sonst durch Satz 189 erledigt.
\medskip

{\bf Satz 191:} {Aus
$$\Xi \ge \Eta,\quad \Zeta \ge \Upsilon$$
folgt
$$\Xi + \Zeta \ge \Eta + \Upsilon.$$}%

Beweis: Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung
klar; sonst durch Satz 190 erledigt.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~4.}
\medskip

\centerline{\bf Multiplikation.}
\bigskip

{\bf Definition 55:}
{\it $$\Xi \cdot \Eta = \cases{-(\left|\Xi\right|\left|\Eta\right|),\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi > 0,\quad \Eta < 0 \quad\hbox{\it oder}\quad \Xi < 0,\quad \Eta > 0;\cr
\left|\Xi\right|\left|\Eta\right|,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi < 0,\quad \Eta < 0;\cr
0,\quad\hbox{\it wenn}\quad \Xi = 0 \quad\hbox{\it oder}\quad \Eta = 0.\cr}$$
{\rm ($\cdot$ sprich: mal; aber man schreibt den Punkt meist nicht.)}  $\Xi \cdot \Eta$
hei{\ss}t das Produkt von $\Xi$ mit $\Eta$ oder die durch Multiplikation von $\Xi$
mit $\Eta$ entstehende Zahl.}

Man beachte, da{\ss} $\Xi \cdot \Eta$ f\"ur $\Xi > 0$, $\Eta > 0$ uns schon aus Defi%
nition 36 bekannt ist, was ja auch in Definition 55 benutzt wurde.
\medskip

{\bf Satz 192:} {\it Es ist
$$\Xi\Eta = 0$$
dann und nur dann, wenn mindestens eine der beiden Zahlen $\Xi$, $\Eta$
Null ist.}

{\bf Beweis:} Definition 55.
\medskip

{\bf Satz 193:} {\it $$|\Xi\Eta| = \left|\Xi\right|\left|\Eta\right|.$$}%

{\bf Beweis:} Definition 55.
\medskip

{\bf Satz 194} (kommutatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$\Xi\Eta = \Eta\Xi.$$}%

{\bf Beweis:} Das ist f\"ur $\Xi > 0$, $\Eta > 0$ der Satz 142 und folgt
sonst aus Definition 55, da die rechte Seite dieser Definition (nach
Satz 142) und die Fallunterscheidung in $\Xi$, $\Eta$ symmetrisch sind.
\medskip

{\bf Satz 195:} {\it $$\Xi \cdot 1 = \Xi.$$}%

{\bf Beweis:} F\"ur $\Xi > 0$ folgt dies aus Satz 151; f\"ur $\Xi = 0$ aus
Definition 55; f\"ur $\Xi < 0$ ist nach Definition 55
$$\Xi \cdot 1 = -(|\Xi| \cdot 1) = -|\Xi| = \Xi.$$
\medskip

{\bf Satz 196:} {\it Ist
$$\Xi \ne 0,\quad \Eta \ne 0,$$
so ist
$$\Xi\Eta = \left|\Xi\right|\left|\Eta\right| \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi\Eta = -(\left|\Xi\right|\left|\Eta\right|),$$
je nachdem keine oder zwei bzw. genau eine der Zahlen $\Xi$, $\Eta$ negativ sind.}

{\bf Beweis:} Definition 55.
\medskip

{\bf Satz 197:} {\it $$(-\Xi)\Eta = \Xi(-\Eta) = -(\Xi\Eta).$$}%

{\bf Beweis:} 1) Ist eine der Zahlen $\Xi$, $\Eta$ Null, so sind alle drei
Ausdr\"ucke $0$.

2) Ist
$$\Xi \ne 0,\quad \Eta \ne 0,$$
so haben nach Satz 193 alle drei Ausdr\"ucke denselben absoluten
Betrag $\left|\Xi\right|\left|\Eta\right|$, und nach Satz 196 sind alle drei $> 0$ bzw. $< 0$,
je nachdem genau eine bzw. keine oder zwei der Zahlen $\Xi$, $\Eta$
negativ sind.
\medskip

{\bf Satz 198:} {\it $$(-\Xi)(-\Eta) = \Xi\Eta.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 197 ist
$$(-\Xi)(-\Eta) = \Xi\bigl(-(-\Eta)\bigr) = \Xi\Eta.$$
\medskip

{\bf Satz 199} (assoziatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$(\Xi\Eta)\Zeta = \Xi(\Eta\Zeta).$$}%

{\bf Beweis:} 1) Ist eine der Zahlen $\Xi$, $\Eta$, $\Zeta$ Null, so sind beide
Seiten der Behauptung 0.

2) Ist
$$\Xi \ne 0,\quad \Eta \ne 0,\quad \Zeta \ne 0,$$
so haben nach Satz 193 beide Seiten denselben absoluten Betrag
$$(\left|\Xi\right|\left|\Eta\right|)\left|\Zeta\right| = \left|\Xi\right|(\left|\Eta\right|\left|\Zeta\right|),$$
und nach Satz 196 sind beide Seiten $> 0$ bzw. $< 0$, je nachdem
keine oder genau zwei bzw. genau eine oder drei der Zahlen $\Xi$,
$\Eta$, $\Zeta$ negativ sind.
\medskip

{\bf Satz 200:} {\it $$\xi(\eta - \zeta) = \xi\eta - \xi\zeta.$$}%

{\bf Beweis:} 1) F\"ur
$$\eta > \zeta$$
ist
$$(\eta - \zeta) + \zeta = \eta,$$
also nach Satz 144
$$\xi(\eta - \zeta) + \xi\zeta = \xi\eta,$$
$$\xi(\eta - \zeta) = \xi\eta - \xi\zeta.$$

2) F\"ur
$$\eta = \zeta$$
ist
$$\xi\eta = \xi\zeta,$$
$$\xi(\eta - \zeta) = \xi \cdot 0 = 0 = \xi\eta - \xi\zeta.$$

3) F\"ur
$$\eta < \zeta$$
ist nach 1)
$$\xi(\eta - \zeta) = \xi\bigl(-(\zeta - \eta)\bigr) = -\bigl(\xi(\zeta - \eta)\bigr) = -(\xi\zeta - \xi\eta) = \xi\eta - \xi\zeta.$$
\medskip

{\bf Satz 201} (distributives Gesetz):
{\it $$\Xi(\Eta + \Zeta) = \Xi\Eta + \Xi\Zeta.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Es sei
$$\Xi > 0.$$
Nach Satz 184 ist
$$\Eta = \eta_1 - \eta_2,\quad \Zeta = \zeta_1 - \zeta_2,$$
nach Satz 185 somit
$$\Eta + \Zeta = (\eta_1 + \zeta_1) - (\eta_2 + \zeta_2),$$
also nach Satz 200 und Satz 144
$$\Xi(\Eta + \Zeta) = \Xi(\eta_1 + \zeta_1) - \Xi(\eta_2 + \zeta_2) = (\Xi\eta_1 + \Xi\zeta_1) - (\Xi\eta_2 + \Xi\zeta_2),$$
also nach Satz 185 und Satz 200
$$\displaylines{\Xi(\Eta + \Zeta) = (\Xi\eta_1 - \Xi\eta_2) + (\Xi\zeta_1 - \Xi\zeta_2) = \Xi(\eta_1 - \eta_2) + \Xi(\zeta_1 - \zeta_2)\cr
= \Xi\Eta + \Xi\Zeta.\cr}$$

2) Es sei
$$\Xi = 0.$$
Dann ist
$$\Xi(\Eta + \Zeta) = 0 = \Xi\Eta + \Xi\Zeta.$$

3) Es sei
$$\Xi < 0.$$
Dann ist nach 1)
$$(-\Xi)(\Eta + \Zeta) = (-\Xi)\Eta + (-\Xi)\Zeta.$$
also
$$-\bigl(\Xi(\Eta + \Zeta)\bigr) = (-\Xi)\Eta + (-\Xi)\Zeta,$$
$$\displaylines{\Xi(\Eta + \Zeta) = -\bigl((-\Xi)\Eta + (-\Xi)\Zeta\bigr) = -\bigl((-\Xi)\Eta\bigr) + \Bigl(-\bigl((-\Xi)\Zeta\bigr)\Bigr)\cr
= \Xi\Eta + \Xi\Zeta.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 202:} {\it $$\Xi(\Eta - \Zeta) = \Xi\Eta - \Xi\Zeta.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 201 ist
$$\displaylines{\Xi(\Eta - \Zeta) = \Xi\bigl(\Eta + (-\Zeta)\bigr) = \Xi\Eta + \Xi(-\Zeta) = \Xi\Eta + \bigl(-(\Xi\Zeta)\bigr)\cr
= \Xi\Eta - \Xi\Zeta.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 203:} {\it Es sei
$$\Xi > \Eta.$$
Aus
$$\Zeta > 0 \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Zeta = 0 \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Zeta < 0$$
folgt dann
$$\Xi\Zeta > \Eta\Zeta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi\Zeta = \Eta\Zeta \quad\hbox{\it bzw.}\quad \Xi\Zeta < \Eta\Zeta.$$}%

{\bf Beweis:} $$\Xi - \Eta > 0,$$
also
$$(\Xi - \Eta)\Zeta > 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad (\Xi - \Eta)\Zeta = 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad (\Xi - \Eta)\Zeta < 0,$$
je nachdem
$$\Zeta > 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Zeta = 0 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Zeta < 0.$$

Da nach Satz 202
$$(\Xi - \Eta)\Zeta = \Zeta(\Xi - \Eta) = \Zeta\Xi - \Zeta\Eta = \Xi\Zeta - \Eta\Zeta$$
ist, ist in diesen F\"allen nach Satz 182
$$\Xi\Zeta > \Eta\Zeta \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi\Zeta = \Eta\Zeta \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Xi\Zeta < \Eta\Zeta.$$
\medskip

{\bf Satz 204:} {\it Die Gleichung
$$\Eta\Upsilon = \Xi,$$
wo $\Xi$, $\Eta$ gegeben sind und
$$\Eta \ne 0$$
ist, hat genau eine L\"osung $\Upsilon$.}

{\bf Beweis:} I) Es gibt h\"ochstens eine L\"osung; denn aus
$$\Eta\Upsilon_1 = \Xi = \Eta\Upsilon_2$$
folgt
$$0 = \Eta\Upsilon_1 - \Eta\Upsilon_2 = \Eta(\Upsilon_1 - \Upsilon_2),$$
also nach Satz 192
$$0 = \Upsilon_1 - \Upsilon_2,$$
$$\Upsilon_1 = \Upsilon_2.$$

II) 1) Es sei
$$\Eta > 0.$$
Dann ist
$$\Upsilon = {1 \over \Eta}\Xi$$
eine L\"osung wegen
$$\Eta\Upsilon = \Eta\left({1 \over \Eta}\Xi\right) = \left(\Eta{1 \over \Eta}\right)\Xi = 1 \cdot \Xi = \Xi.$$

2) Es sei
$$\Eta < 0.$$
Dann ist
$$\Upsilon = -\left({1 \over |\Eta|}\Xi\right)$$
eine L\"osung.  Denn nach 1) ist
$$\Xi = \left|\Eta\right|\left({1 \over |\Eta|}\Xi\right) = \left|\Eta\right|(-\Upsilon) = (-|\Eta|)\Upsilon = \Eta\Upsilon.$$
\medskip

{\bf Definition 56:} {\it Das $\Upsilon$ des Satzes 204 hei{\ss}t $\Xi \over \Eta$ {\rm (sprich: $\Xi$ durch
\Eta).}  $\Xi \over \Eta$ hei{\ss}t auch der Quotient von $\Xi$ durch $\Eta$ oder die durch Division
von $\Xi$ durch $\Eta$ entstehende Zahl.}

Man beachte, da{\ss} (wie es sein mu{\ss}) dies f\"ur $\Xi > 0$, $\Eta > 0$ mit
der alten Definition 38 \"ubereinstimmt.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~5.}
\medskip

\centerline{\bf Dedekindscher Hauptsatz.}
\bigskip

{\bf Satz 205:} {\it Gegeben sei irgend eine Einteilung aller reellen Zahlen
in zwei Klassen mit folgenden Eigenschaften.

{\rm 1)} Es gibt eine Zahl der ersten Klasse und eine Zahl der zweiten
Klasse.

{\rm 2)} Jede Zahl der ersten Klasse ist kleiner als jede Zahl der
zweiten Klasse.

Dann gibt es genau eine reelle Zahl $\Xi$, so da{\ss} jedes $\Eta < \Xi$ zur
ersten, jedes $\Eta > \Xi$ zur zweiten Klasse geh\"ort.}

Mit anderen Worten: Jede Zahl der ersten Klasse ist $\le \Xi$,
jede Zahl der zweiten Klasse $\ge \Xi$.

{\bf Vorbemerkung:} Es ist umgekehrt klar, da{\ss} jede reelle Zahl
$\Xi$ genau zwei solche Einteilungen erzeugt; die eine mit $\Eta \le \Xi$
als erster, $\Eta > \Xi$ als zweiter Klasse; die andere mit $\Eta < \Xi$ als
erster, $\Eta \ge \Xi$ als zweiter Klasse.

{\bf Beweis:} A) Mehr als ein solches $\Xi$ kann es nicht geben; denn
w\"are
$$\Xi_1 < \Xi_2$$
und leisteten $\Xi_1$ und $\Xi_2$ das Gew\"unschte, so w\"urde $\Xi_1 + \Xi_2 \over 1 + 1$ wegen
$$(1 + 1)\Xi_1 = \Xi_1 + \Xi_1 < \Xi_1 + \Xi_2 < \Xi_2 + \Xi_2 = (1 + 1)\Xi_2,$$
$$\Xi_1 < {\Xi_1 + \Xi_2 \over 1 + 1} < \Xi_2$$
sowohl zur zweiten als auch zur ersten Klasse geh\"oren.

B) Zum Nachweis der Existenz eines $\Xi$ unterscheiden wir vier
F\"alle:

I) Es gebe eine positive Zahl in der ersten Klasse.

Wir betrachten den Schnitt, der folgenderma{\ss}en erzeugt wird:
Jede positive rationale Zahl kommt in die Unterklasse, wenn sie
in der ersten Klasse liegt, ohne die etwaige gr\"o{\ss}te rationale Zahl
der ersten Klasse zu sein; sonst (d. h. wenn sie die etwaige gr\"o{\ss}te
rationale Zahl der ersten Klasse ist oder in der zweiten Klasse
liegt) in die Oberklasse. Das ist wirklich ein Schnitt.  Denn:

1) Da die erste Klasse eine positive Zahl enth\"alt, enth\"alt sie
jede kleinere positive rationale Zahl (eine solche gibt es nach
Satz 158), also eine, zu der es in der ersten Klasse eine gr\"o{\ss}ere
gibt.  Die Unterklasse ist also nicht leer.

Da die zweite Klasse eine Zahl enth\"alt, enth\"alt sie jede
gr\"o{\ss}ere positive rationale Zahl (eine solche gibt es nach Satz 158).
Die Oberklasse ist also nicht leer.

2) Jede Zahl der Unterklasse ist kleiner als jede der Ober%
klasse; denn jede Zahl der ersten Klasse ist kleiner als jede der
zweiten Klasse, und die etwaige gr\"o{\ss}te positive rationale Zahl der
ersten Klasse ist gewi{\ss} gr\"o{\ss}er als jede Zahl der Unterklasse.

3) Die Unterklasse enth\"alt keine gr\"o{\ss}te positive rationale
Zahl.  Denn entweder die erste Klasse enth\"alt schon keine solche.
Oder sie enth\"alt eine solche; dann war diese in die Oberklasse
getan, und unter den positiven rationalen Zahlen, die kleiner als
eine gegebene sind, gibt es schon nach Satz 91 keine gr\"o{\ss}te.

Die durch unseren Schnitt definierte positive Zahl nennen wir
$\Xi$ und behaupten, da{\ss} sie die gestellten Forderungen erf\"ullt.

a) Es sei $\Eta$ mit
$$\Eta < \Xi$$
gegeben.  Wir w\"ahlen nach Satz 159 (mit $\xi = \Eta$, $\eta = \Xi$, wenn
$\Eta > 0$ ist; mit $\xi = {\Xi \over 1 + 1}$, $\eta = \Xi$, wenn $\Eta \le 0$ ist) ein $\Zeta$ mit
$$\Eta < \Zeta < \Xi.$$
Dann ist $\Zeta$ Unterzahl bei $\Xi$, also zur ersten Klasse geh\"orig; daher
geh\"ort $\Eta$ zur ersten Klasse.

b) Es sei $\Eta$ mit
$$\Eta > \Xi$$
gegeben.  Wir w\"ahlen nach Satz 159 ein $\Zeta$ mit
$$\Xi < \Zeta < \Eta.$$
Dann ist $\Zeta$ Oberzahl bei $\Xi$ und (nach Satz 159) nicht die kleinste,
also zur zweiten Klasse geh\"orig; daher geh\"ort $\Eta$ zur zweiten
Klasse.

II) Jede positive Zahl liege in der zweiten Klasse; $0$ liege in
der ersten Klasse.

Dann liegt jede negative Zahl in der ersten Klasse, und
$$\Xi = 0$$
leistet das Gew\"unschte.

III) 0 liege in der zweiten Klasse; jede negative Zahl liege
in der ersten Klasse.

Dann liegt jede positive Zahl in der zweiten Klasse, und
$$\Xi = 0$$
leistet das Gew\"unschte.

IV) Es gebe eine negative Zahl in der zweiten Klasse.
Dann betrachten wir folgende neue Einteilung:
\bigskip

$\Eta$ in der neuen ersten Klasse, wenn $-\Eta$ in der alten zweiten
Klasse lag;

$\Eta$ in der neuen zweiten Klasse, wenn $-\Eta$ in der alten ersten
Klasse lag.
\bigskip
\noindent
Diese Einteilung gen\"ugt offenbar den beiden Bedingungen des
Satzes 205.  Denn

1) in jeder Klasse liegt eine Zahl;

2) aus
$$\Eta_1 < \Eta_2$$
folgt nach Satz 183
$$-\Eta_2 < -\Eta_1.$$

\"Uberdies f\"allt die neue Einteilung unter Fall 1), da es eine
positive Zahl in der neuen ersten Klasse gibt.  Nach I) existiert
also eine Zahl $\Xi_1$, so da{\ss} jedes
$$\Eta < \Xi_1$$
in der neuen ersten Klasse, jedes
$$\Eta > \Xi_1$$
in der neuen zweiten Klasse liegt.  Wird
$$-\Xi_1 = \Xi$$
gesetzt, so folgt aus
$$\Eta < \Xi \quad\hbox{\rm bzw.}\quad \Eta > \Xi,$$
da{\ss}
$$-\Eta > \Xi_1 \quad\hbox{\rm bzw.}\quad -\Eta < \Xi_1,$$
ist. Also liegt $-\Eta$ in der neuen zweiten bzw. neuen ersten Klasse,
also $\Eta$ in der alten ersten bzw. alten zweiten Klasse.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{\sl Kapitel 5.}
\medskip

\centerline{\bf Komplexe Zahlen.}
\bigskip

\centerline{{\S}~1.}
\medskip

\centerline{\bf Definition.}
\bigskip

\ifx\Alpha\undefined
  \let\Alpha=A \let\Beta=B \let\Zeta=Z \let\Eta=H \let\Upsilon=Y
\fi

{\bf Definition 57:} {\it Eine komplexe Zahl ist ein Paar reeller Zahlen
$\Xi_1$, $\Xi_2$ {\rm (in bestimmter Reihenfolge).}  Wir bezeichnen die komplexe
Zahl mit $[\Xi_1,\> \Xi_2]$. Dabei gelten $[\Xi_1,\> \Xi_2]$ und $[\Eta_1,\> \Eta_2]$ als dieselbe
Zahl (als gleich; {\rm schreibe: $=$}) genau dann, wenn
$$\Xi_1 = \Eta_1,\quad \Xi_2 = \Eta_2$$
ist; sonst als ungleich {\rm (verschieden; schreibe: $\ne$).}}

Kleine deutsche Buchstaben bedeuten durchweg komplexe
Zahlen.

\ifx\fr\undefined
  \font\teneufm=eufm10 \font\seveneufm=eufm7 \font\fiveeufm=eufm5
  \csname newfam\endcsname\eufmfam
  \textfont\eufmfam=\teneufm \scriptfont\eufmfam=\seveneufm \scriptscriptfont\eufmfam=\fiveeufm
  \def\fr{\fam\eufmfam}
\fi

F\"ur jedes $\fr x$ und jedes $\fr y$ liegt somit genau einer der F\"alle
$$\fr x = y,\quad x \ne y$$
vor.  Bei den komplexen Zahlen vermischen sich die Begriffe der
Identit\"at und Gleichheit, so da{\ss} die drei S\"atze trivial sind:
\medskip

{\bf Satz 206:} {\it $$\fr x = x.$$}%
\medskip

{\bf Satz 207:} {\it Aus
$$\fr x = y$$
folgt
$$\fr y = x.$$}%
\medskip

{\bf Satz 208:} {\it Aus
$$\fr x = y,\quad y = z$$
folgt
$$\fr x = z.$$}%
\medskip

{\bf Definition 58:} {\it $${\fr n} = [0,\> 0].$$}%
\medskip

{\bf Definition 59:} {\it $${\fr e} = [1,\> 0].$$}%

Die Buchstaben $\fr n$ und $\fr e$ bleiben also f\"ur bestimmte komplexe
Zahlen reserviert.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~2.}
\medskip

\centerline{\bf Addition.}
\bigskip

{\bf Definition 60:} {\it Ist
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2],$$
so ist
$${\fr x + y} = [\Xi_1 + \Eta_1,\> \Xi_2 + \Eta_2].$$
{\rm ($+$ sprich: plus.)}  $\fr x + y$ hei{\ss}t die Summe von $\fr x$ und $\fr y$ oder die durch
Addition von $\fr y$ zu $\fr x$ entstehende {\rm (komplexe)} Zahl.}
\medskip

{\bf Satz 209} (kommutatives Gesetz der Addition):
{\it $$\fr x + y = y + x.$$}%

{\bf Beweis:} $$[\Xi_1 + \Eta_1,\> \Xi_2 + \Eta_2] = [\Eta_1 + \Xi_1,\> \Eta_2 + \Xi_2].$$
\medskip

{\bf Satz 210:} {\it $$\fr x + n = x.$$}%

{\bf Beweis:} $$[\Xi_1,\> \Xi_2] + [0,\> 0] = [\Xi_1 + 0,\> \Xi_2 + 0] = [\Xi_1,\> \Xi_2].$$
\medskip

{\bf Satz 211} (assoziatives Gesetz der Addition):
{\it $$\fr (x + y) + z = x + (y + z).$$}%

{\bf Beweis:} Ist
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2],\quad {\fr z} = [\Zeta_1,\> \Zeta_2],$$
so ist nach Satz 186
$$\displaylines{{\fr (x + y) + z} = [\Xi_1 + \Eta_1,\> \Xi_2 + \Eta_2] + [\Zeta_1,\> \Zeta_2] = [(\Xi_1 + \Eta_1) + \Zeta_1,\> (\Xi_2 + \Eta_2) + \Zeta_2]\cr
= [\Xi_1 + (\Eta_1 + \Zeta_1),\> \Xi_2 + (\Eta_2 + \Zeta_2)] = [\Xi_1,\> \Xi_2] + [\Eta_1 + \Zeta_1,\> \Eta_2 + \Zeta_2] = {\fr x + (y + z)}.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 212:} {\it Bei gegebenen $\fr x$, $\fr y$ hat
$$\fr y + u = x.$$
genau eine L\"osung $\fr u$, n\"amlich,
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2]$$
gesetzt,
$${\fr u} = [\Xi_1 - \Eta_1,\> \Xi_2 - \Eta_2].$$}%

{\bf Beweis:} F\"ur jedes
$${\fr u} = [\Upsilon_1,\> \Upsilon_2]$$
ist
$${\fr y + u} = [\Eta_1 + \Upsilon_1,\> \Eta_2 + \Upsilon_2],$$
und es wird genau
$$\Eta_1 + \Upsilon_1 = \Xi_1,\quad \Eta_2 + \Upsilon_2 = \Xi_2$$
verlangt, so da{\ss} Satz 187 alles beweist.
\medskip

{\bf Definition 61:} {\it Das $\fr u$ des Satzes 212 hei{\ss}t ${\fr x - y}$ {\rm ($-$ sprich:
minus).}  ${\fr x - y}$ hei{\ss}t auch die Differenz $\fr x$ minus $\fr y$ oder die durch Sub%
traktion des $\fr y$ von $\fr x$ entstehende Zahl.}
\medskip

{\bf Satz 213:} {\it Es ist
$$\fr x - y = n$$
dann und nur dann, wenn
$$\fr x = y.$$}%

{\bf Beweis:} Es ist
$$\Xi_1 - \Eta_1 = \Xi_2 - \Eta_2 = 0$$
genau dann, wenn
$$\Xi_1 = \Eta_1,\quad \Xi_2 = \Eta_2.$$
\medskip

{\bf Definition 62:} {\it $$\fr -x = n - x.$$
{\rm ($-$ links sprich: minus.)}}
\medskip

{\bf Satz 214:} {\it F\"ur
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2]$$
ist
$${\fr -x} = [-\Xi_1,\> -\Xi_2].$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{-[\Xi_1,\> \Xi_2] = [0,\> 0] - [\Xi_1,\> \Xi_2] = [0 - \Xi_1,\> 0 - \Xi_2]\cr
= [-\Xi_1,\> -\Xi_2]\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 215:} {\it $$\fr -(-x) = x.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 177 ist
$$-(-\Xi_1) = \Xi_1,\quad -(-\Xi_2) = \Xi_2.$$
\medskip

{\bf Satz 216:} {\it $$\fr x + (-x) = n.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 179 ist
$$\Xi_1 + (-\Xi_1) = 0,\quad \Xi_2 + (-\Xi_2) = 0.$$
\medskip

{\bf Satz 217:} {\it $$\fr -(x + y) = -x + (-y).$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 180 ist,
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2]$$
gesetzt,
$$\displaylines{{\fr -(x + y)} = [-(\Xi_1 + \Eta_1),\> -(\Xi_2 + \Eta_2)] = [-\Xi_1 + (-\Eta_1),\> -\Xi_2 + (-\Eta_2)]\cr
= [-\Xi_1,\> -\Xi_2] + [-\Eta_1,\> -\Eta_2] = {\fr -x + (-y)}.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 218:} {\it $$\fr x - y = x + (-y).$$}%

{\bf Beweis:} $$[\Xi_1 - \Eta_1,\> \Xi_2 - \Eta_2] = [\Xi_1,\> \Xi_2] + [-\Eta_1,\> -\Eta_2].$$
\medskip

{\bf Satz 219:} {\it $$\fr -(x - y) = y - x.$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{\fr -(x - y) = -\bigl(x + (-y)\bigr) = -x + \bigl(-(-y)\bigr) = -x + y\cr
= \fr y + (-x) = y - x.\cr}$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~3.}
\medskip

\centerline{\bf Multiplikation.}
\bigskip

{\bf Definition 63:} {\it Ist
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2],$$
so ist
$${\fr x \cdot y} = [\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2,\> \Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1].$$
{\rm ($\cdot$ sprich: mal: aber man schreibt den Punkt meist nicht.)}  $\fr x \cdot y$
hei{\ss}t das Produkt von $\fr x$ mit $\fr y$ oder die durch Multiplikation von $\fr x$
mit $\fr y$ entstehende Zahl.}

{\bf Satz 220} (kommutatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$\fr xy = yx.$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{[\Xi_1,\> \Xi_2][\Eta_1,\> \Eta_2] = [\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2,\> \Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1]\cr
= [\Eta_1\Xi_1 - \Eta_2\Xi_2,\> \Eta_1\Xi_2 + \Eta_2\Xi_1] = [\Eta_1,\> \Eta_2][\Xi_1,\> \Xi_2].\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 221}:{\it  Es ist
$$\fr xy = n$$
dann und nur dann, wenn mindestens eine der beiden Zahlen $\fr x$, $\fr y$
gleich $\fr n$ ist.}

{\bf Beweis:} Es sei
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2].$$

I) Aus
$$\fr x = n$$
folgt
$$\Xi_1 = \Xi_2 = 0,$$
$${\fr xy} = [0 \cdot \Eta_1 - 0 \cdot \Eta_2,\> 0 \cdot \Eta_2 + 0 \cdot \Eta_1] = [0,\> 0] = {\fr n}.$$

2) Aus
$$\fr y = n$$
folgt nach Satz 220 und 1)
$$\fr xy = yx = nx = n.$$

3) Aus
$$\fr xy = n$$
soll gefolgert werden, da{\ss}
$$\fr x = n \quad\hbox{\rm oder}\quad y = n$$
ist.  Wir d\"urfen daher voraussetzen
$$\fr y \ne n,$$
d. h.
$$\Eta_1\Eta_1 + \Eta_2\Eta_2 > 0,$$
und haben
$$\fr x = n,$$
d. h.
$$\Xi_1 = \Xi_2 = 0,$$
zu beweisen.

Nach Voraussetzung ist
$$\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2 = 0 = \Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1,$$
also
$$\displaylines{0 = (\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2)\Eta_1 + (\Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1)\Eta_2\cr
= \bigl((\Xi_1\Eta_1)\Eta_1 - (\Xi_2\Eta_2)\Eta_1\bigr) + \bigl((\Xi_1\Eta_2)\Eta_2 + (\Xi_2\Eta_1)\Eta_2\bigr)\cr
= \bigl(\Xi_1(\Eta_1\Eta_1) - \Xi_2(\Eta_2\Eta_1)\bigr) + \bigl(\Xi_1(\Eta_2\Eta_2) + \Xi_2(\Eta_1\Eta_2)\bigr)\cr
= \Bigl(\bigl(\Xi_1(\Eta_1\Eta_1) - \Xi_2(\Eta_1\Eta_2)\bigr) + \Xi_2(\Eta_1\Eta_2)\Bigr) + \Xi_1(\Eta_2\Eta_2)\cr
= \Xi_1(\Eta_1\Eta_1) + \Xi_1(\Eta_2\Eta_2) = \Xi_1(\Eta_1\Eta_1 + \Eta_2\Eta_2),\cr}$$
also
$$\Xi_1 = 0,$$
$$\Xi_2\Eta_2 = 0 = \Xi_2\Eta_1.$$
Da $\Eta_1$ und $\Eta_2$ nicht beide $0$ sind, ist also
$$\Xi_2 = 0.$$
\medskip

{\bf Satz 222:} {\it $$\fr xe = x.$$}%

{\bf Beweis:} $$[\Xi_1,\> \Xi_2][1,\> 0] = [\Xi_1 \cdot 1 - \Xi_2 \cdot 0,\> \Xi_1 \cdot 0 + \Xi_2 \cdot 1] = [\Xi_1,\> \Xi_2].$$
\medskip

{\bf Satz 223:} {\it $$\fr x(-e) = -x.$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{[\Xi_1,\> \Xi_2][-1,\> 0] = [\Xi_1 \cdot (-1) - \Xi_2 \cdot 0,\> \Xi_1 \cdot 0 + \Xi_2 \cdot (-1)]\cr
= [-\Xi_1,\> -\Xi_2].\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 224:} {\it $$\fr (-x)y = x(-y) = -(xy).$$}%

{\bf Beweis:} 1)
$$\displaylines{[-\Xi_1,\> -\Xi_2][\Eta_1,\> \Eta_2] = [(-\Xi_1)\Eta_1 - (-\Xi_2)\Eta_2,\> (-\Xi_1)\Eta_2 + (-\Xi_2)\Eta_1]\cr
= [-(\Xi_1\Eta_1) + \Xi_2\Eta_2,\> -(\Xi_1\Eta_2) - \Xi_2\Eta_1]\cr
= [-(\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2),\> -(\Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1)]\cr
= -([\Xi_1,\> \Xi_2][\Eta_1,\> \Eta_2]),\cr}$$
$$\fr (-x)y = -(xy).$$

2) Nach 1) ist
$$\fr x(-y) = (-y)x = -(yx) = -(xy).$$
\medskip

{\bf Satz 225:} {\it $$\fr (-x)(-y) = xy.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 224 ist
$$\fr (-x)(-y) = x\bigl(-(-y)\bigr) = xy.$$
\medskip

{\bf Satz 226} (assoziatives Gesetz der Multiplikation):
{\it $$\fr (xy)z = x(yz).$$}%

{\bf Beweis:} In diesem Beweise werde der \"Ubersichtlichkeit wegen
ausnahmsweise zur Abk\"urzung
$$(\Xi + \Eta) + \Zeta = \Xi + \Eta + \Zeta,$$
$$(\Xi\Eta)\Zeta = \Xi\Eta\Zeta$$
gesetzt, so da{\ss} auch
$$\Xi + (\Eta + \Zeta) = \Xi + \Eta + \Zeta,$$
$$\Xi(\Eta\Zeta) = \Xi\Eta\Zeta$$
ist.

Es werde
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2],\quad {\fr z} = [\Zeta_1,\> \Zeta_2]$$
gesetzt. Dann ist
$$\displaylines{{\fr (xy)z} = [\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2,\> \Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1][\Zeta_1,\> \Zeta_2]\cr
= [(\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2)\Zeta_1 - (\Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1)\Zeta_2,\cr
(\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2)\Zeta_2 + (\Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1)\Zeta_1]\cr
= [(\Xi_1\Eta_1\Zeta_1 - \Xi_2\Eta_2\Zeta_1) - (\Xi_1\Eta_2\Zeta_2 + \Xi_2\Eta_1\Zeta_2),\cr
(\Xi_1\Eta_1\Zeta_2 - \Xi_2\Eta_2\Zeta_2) + (\Xi_1\Eta_2\Zeta_1 + \Xi_2\Eta_1\Zeta_1)]\cr
= [\Bigl(\Xi_1\Eta_1\Zeta_1 + \bigl(-(\Xi_2\Eta_2\Zeta_1)\bigr)\Bigr) + \bigl(-(\Xi_1\Eta_2\Zeta_2 + \Xi_2\Eta_1\Zeta_2)\bigr),\cr
(\Xi_1\Eta_2\Zeta_1 + \Xi_2\Eta_1\Zeta_1) + \Bigl(\Xi_1\Eta_1\Zeta_2 + \bigl(-(\Xi_2\Eta_2\Zeta_2)\bigr)\Bigr)]\cr
= [\Xi_1\Eta_1\Zeta_1 - (\Xi_2\Eta_2\Zeta_1 + \Xi_1\Eta_2\Zeta_2 + \Xi_2\Eta_1\Zeta_2),\cr
(\Xi_1\Eta_2\Zeta_1 + \Xi_2\Eta_1\Zeta_1 + \Xi_1\Eta_1\Zeta_2) - \Xi_2\Eta_2\Zeta_2].\cr}$$

Wegen
$$\fr x(yz) = (yz)x$$
entsteht durch Buchstabenvertauschung ($\Eta$ statt $\Xi$, $\Zeta$ statt $\Eta$, $\Xi$
statt $\Zeta$)
$$\displaylines{{\fr x(yz)} = [\Eta_1\Zeta_1\Xi_1 - (\Eta_2\Zeta_2\Xi_1 + \Eta_1\Zeta_2\Xi_2 + \Eta_2\Zeta_1\Xi_2),\cr
(\Eta_1\Zeta_2\Xi_1 + \Eta_2\Zeta_1\Xi_1 + \Eta_1\Zeta_1\Xi_2) - \Eta_2\Zeta_2\Xi_2].\cr}$$

Wegen
$$\Xi\Eta\Zeta = \Xi(\Eta\Zeta) = (\Eta\Zeta)\Xi = \Eta\Zeta\Xi,$$
$$\Alpha + \Beta + \Gamma = \Alpha + (\Beta + \Gamma) = (\Beta + \Gamma) + \Alpha = \Beta + \Gamma + \Alpha$$
erkennt man an den ausgerechneten Ausdr\"ucken
$$\fr (xy)z = x(yz).$$
\medskip

{\bf Satz 227} (distributives Gesetz):
$$\fr x(y + z) = xy + xz.$$

{\bf Beweis:}
$$\displaylines{[\Xi_1,\> \Xi_2]([\Eta_1,\> \Eta_2] + [\Zeta_1,\> \Zeta_2]) = [\Xi_1,\> \Xi_2][\Eta_1 + \Zeta_1,\> \Eta_2 + \Zeta_2]\cr
= [\Xi_1(\Eta_1 + \Zeta_1) - \Xi_2(\Eta_2 + \Zeta_2),\> \Xi_1(\Eta_2 + \Zeta_2) + \Xi_2(\Eta_1 + \Zeta_1)]\cr
= [(\Xi_1\Eta_1 + \Xi_1\Zeta_1) + \Bigl(-(\Xi_2\Eta_2) + \bigl(-(\Xi_2\Zeta_2)\bigr)\Bigr),\> (\Xi_1\Eta_2 + \Xi_1\Zeta_2) + (\Xi_2\Eta_1 + \Xi_2\Zeta_1)]\cr
= [(\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2) + (\Xi_1\Zeta_1 - \Xi_2\Zeta_2),\> (\Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1) + (\Xi_1\Zeta_2 + \Xi_2\Zeta_1)]\cr
= [\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2,\> \Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1] + [\Xi_1\Zeta_1 - \Xi_2\Zeta_2,\> \Xi_1\Zeta_2 + \Xi_2\Zeta_1]\cr
= [\Xi_1,\> \Xi_2][\Eta_1,\> \Eta_2] + [\Xi_1,\> \Xi_2][\Zeta_1,\> \Zeta_2].\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 228:} {\it $$\fr x(y - z) = xy - xz.$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{\fr x(y - z) = x\bigl(y + (-z)\bigr) = xy + x(-z) = xy + \bigl(-(xz)\bigr)\cr
= \fr xy - xz.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 229:} {\it Die Gleichung
$$\fr yu = x,$$
wo $\fr x$, $\fr y$ gegeben sind und
$$\fr y \ne n$$
ist, hat genau eine L\"osung $\fr u$.}

{\bf Beweis:} 1) Es gibt h\"ochstens eine L\"osung; denn aus
$${\fr y}{\fr u}_1 = {\fr x} = {\fr y}{\fr u}_2$$
folgt
$${\fr n} = {\fr y}{\fr u}_1 - {\fr y}{\fr u}_2 = {\fr y}({\fr u}_1 - {\fr u}_2),$$
also nach Satz 221
$${\fr n} = {\fr u}_1 - {\fr u}_2,$$
$${\fr u}_1 = {\fr u}_2.$$

2) Ist
$${\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2],$$
so ist
$$\Eta = \Eta_1\Eta_1 + \Eta_2\Eta_2 > 0,$$
und
$${\fr u} = \left[{\Eta_1 \over \Eta},\> -{\Eta_2 \over \Eta}\right]{\fr x}$$
ist eine L\"osung wegen
$$\displaylines{{\fr yu} = \left([\Eta_1,\> \Eta_2]\left[{\Eta_1 \over \Eta},\> -{\Eta_2 \over \Eta}\right]\right){\fr x}\cr
= \left[\Eta_1{\Eta_1 \over \Eta} + \Eta_2{\Eta_2 \over \Eta},\> -\left(\Eta_1{\Eta_2 \over \Eta}\right) + \Eta_2{\Eta_1 \over \Eta}\right]{\fr x}\cr
= \left[{\Eta_1\Eta_1 + \Eta_2\Eta_2 \over \Eta},\> {-(\Eta_1\Eta_2) + \Eta_1\Eta_2 \over \Eta}\right]{\fr x} = [1,\> 0]{\fr x} = {\fr ex} = {\fr x}.\cr}$$
\medskip

{\bf Definition 64:} {\it Das $\fr u$ des Satzes 229 ha{\ss}t $\fr x \over y$ {\rm (sprich: $\fr x$ durch $\fr y$).}
$\fr x \over y$ hei{\ss}t auch der Quotient von $\fr x$ durch $\fr y$ oder die durch Division
von $\fr x$ durch $\fr y$ entstehende Zahl.}
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~4.}
\medskip

\centerline{\bf Subtraktion.}
\bigskip

{\bf Satz 230:} {\it $$\fr (x - y) + y = x.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr (x - y) + y = y + (x - y) = x.$$
\medskip

{\bf Satz 231:} {\it $$\fr (x + y) - y = x.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr y + x = x + y.$$
\medskip

{\bf Satz 232:} {\it $$\fr x - (x - y) = y.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr (x - y) + y = x.$$
\medskip

{\bf Satz 233:} {\it $$\fr (x - y) - z = x - (y + z).$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{\fr (y + z) + \bigl((x - y) - z\bigr) = \bigl((x - y) - z\bigr) + (z + y)\cr
= \fr \Bigl(\bigl((x - y) - z\bigr) + z\Bigr) + y = (x - y) + y = x.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 234:} {\it $$\fr (x + y) - z = x + (y - z).$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr \bigl(x + (y - z)\bigr) + z = x + \bigl((y - z) + z\bigr) = x + y.$$
\medskip

{\bf Satz 235:} {\it $$\fr (x - y) + z = x - (y - z).$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{\fr \bigl((x - y) + z\bigr) + (y - z) = (x - y) + \bigl(z + (y - z)\bigr)\cr
= \fr (x - y) + y = x.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 236:} {\it $$\fr (x + z) - (y + z) = x - y.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr (x - y) + (y + z) = \bigl((x - y) + y\bigr) + z = x + z.$$
\medskip

{\bf Satz 237:} {\it $$\fr (x - y) + (z - u) = (x + z) - (y + u).$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{\fr \bigl((x - y) + (z - u)\bigr) + (y + u) = (x - y) + \bigl((z - u) + (u + y)\bigr)\cr
= \fr (x - y) + \Bigl(\bigl((z - u) + u\bigr) + y\Bigr) = (x - y) + (z + y) = (x - y) + (y + z)\cr
= \fr \bigl((x - y) + y\bigr) + z = x + z.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 238:} {\it $$\fr (x - y) - (z - u) = (x + u) - (y + z).$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 237 und Satz 236 ist
$$\displaylines{\fr \bigl((x + u) - (y + z)\bigr) + (z - u) = \bigl((x + u) + z\bigr) - \bigl((y + z) + u\bigr)\cr
= \fr \bigl(x + (u + z)\fr) - \bigl(y + (z + u)\bigr) = x - y.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 239:} {\it Es ist
$$\fr x - y = z - u$$
dann und nur dann, wenn
$$\fr x + u = y + z.$$}%

{\bf Beweis:} Satz 213 und Satz 238.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~5.}
\medskip

\centerline{\bf Division.}
\bigskip

{\bf Satz 240:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over y}y = x.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr {x \over y}y = y{x \over y} = x.$$
\medskip

{\bf Satz 241:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,$$
so ist
$$\fr {xy \over y} = x.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr yx = xy.$$
\medskip

{\bf Satz 242:} {\it Ist
$$\fr x \ne n,\quad y \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over {x \over y}} = y.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr {x \over y}y = x.$$
\medskip

{\bf Satz 243:} {\it Ist
$$\fr x \ne n,\quad y \ne n,$$
so ist
$$\fr {{x \over y} \over z} = {x \over yz}.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr (yz){{x \over y} \over z} = {{x \over y} \over z}(zy) = \left({{x \over y} \over z}z\right)y = {x \over y}y = x.$$
\medskip

{\bf Satz 244:} {\it Ist
$$\fr z \ne n,$$
so ist
$$\fr {xy \over z} = x{y \over z}.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr \left(x{y \over z}\right)z = x\left({y \over z}z\right) = xy.$$
\medskip

{\bf Satz 245:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,\quad z \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over y}z = {x \over {y \over z}}.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr \left({x \over y}z\right){y \over z} = {x \over y}\left(z{y \over z}\right) = {x \over y}y = x.$$
\medskip

{\bf Satz 246:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,\quad z \ne n,$$
so ist
$$\fr {xz \over yz} = {x \over y}.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr {x \over y}(yz) = \left({x \over y}y\right)z = xz.$$
\medskip

{\bf Satz 247:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,\quad u \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over y} \cdot {z \over u} = {xz \over yu}.$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{\fr \left({x \over y} \cdot {z \over u}\right)(yu) = {x \over y}\left({z \over u}(uy)\right) = {x \over y}\biggl(\left({z \over u}u\right)y\biggr)\cr
= \fr {x \over y}(zy) = {x \over y}(yz) = \left({x \over y} y\right)z = xz.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 248:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,\quad z \ne n,\quad u \ne n,$$
so ist
$$\fr {{x \over y} \over {z \over u}} = {xu \over yz}.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 247 und Satz 246 ist
$$\fr {xu \over yz} \cdot {z \over u} = {(xu)z \over (yz)u} = {x(uz) \over y(zu)} = {x \over y}.$$
\medskip

{\bf Satz 249:} {\it Ist
$$\fr x \ne n,$$
so ist
$$\fr {n \over x} = n.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr xn = n.$$
\medskip

{\bf Satz 250:} {\it Ist
$$\fr x \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over x} = e.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr xe = x.$$
\medskip

{\bf Satz 251:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over y} = e$$
dann und nur dann, wenn
$$\fr x = y.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Ist
$$\fr x = y,$$
so ist nach Satz 250
$$\fr {x \over y} = {y \over y} = e.$$

2) Ist
$$\fr {x \over y} = e,$$
so ist nach Satz 222
$$\fr x = ye = y.$$
\medskip

{\bf Satz 252:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,\quad u \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over y} = {z \over u}$$
dann und nur dann, wenn
$$\fr xu = yz.$$}%

{\bf Beweis} F\"ur
$$\fr z = n$$
ist die Behauptung klar.

Sonst ist nach Satz 248
$$\fr {{x \over y} \over {z \over u}} = {xu \over yz},$$
so da{\ss} Satz 251 die Behauptung liefert.
\medskip

{\bf Satz 253:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over y} + {z \over y} = {x + z \over y}.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr y\left({x \over y} + {z \over y}\right) = y{x \over y} + y{z \over y} = x + z.$$
\medskip

{\bf Satz 254:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,\quad u \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over y} + {z \over u} = {xu + yz \over yu}.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 246 und Satz 253 ist
$$\fr {x \over y} + {z \over u} = {xu \over yu} + {yz \over yu} = {xu + yz \over yu}.$$
\medskip

{\bf Satz 255:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over y} - {z \over y} = {x - z \over y}.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr y\left({x \over y} - {z \over y}\right) = y{x \over y} - y{z \over y} = x - z.$$
\medskip

{\bf Satz 256:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,\quad u \ne n,$$
so ist
$$\fr {x \over y} - {z \over u} = {xu - yz \over yu}.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 246 und Satz 255 ist
$$\fr {x \over y} - {z \over u} = {xu \over yu} - {yz \over yu} = {xu - yz \over yu}.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~6.}
\medskip

\centerline{\bf Konjugierte Zahlen.}
\bigskip

{\bf Definition 65:} {\it Zu
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2]$$
hei{\ss}t
$$\overline{\fr x} = [\Xi_1,\> -\Xi_2]$$
konjugiert komplex.}
\medskip

{\bf Satz 257:} {\it $$\fr \overline{\overline{x}} = x.$$}%

{\bf Beweis:} $$[\Xi_1,\> -(-\Xi_2)] = [\Xi_1,\> \Xi_2].$$
\medskip

{\bf Satz 258:} {\it Es ist
$$\fr \overline{x} = n$$
dann und nur dann, wenn
$$\fr x = n.$$}%

{\bf Beweis:} $$\Xi_1 = 0,\quad -\Xi_2 = 0$$
ist dasselbe wie
$$\Xi_1 = 0,\quad \Xi_2 = 0$$
\medskip

{\bf Satz 259:} {\it Es ist
$$\fr \overline{x} = x$$
dann und nur dann, wenn $\fr x$ die Form
$${\fr x} = [\Xi,\> 0]$$
hat.}

{\bf Beweis:} Es ist
$$\Xi_1 = \Xi_1,\quad -\Xi_2 = \Xi_2$$
dann und nur dann, wenn
$$\Xi_2 = 0.$$
\medskip

{\bf Satz 260:} {\it $$\fr \overline{x + y} = \overline{x} + \overline{y}.$$}%

{\bf Beweis:} F\"ur
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2]$$
ist
$$\displaylines{{\fr \overline{x + y}} = [\Xi_1 + \Eta_1,\> -(\Xi_2 + \Eta_2)] = [\Xi_1 + \Eta_1,\> -\Xi_2 + (-\Eta_2)]\cr
= [\Xi_1,\> -\Xi_2] + [\Eta_1,\> -\Eta_2] = {\fr \overline{x} + \overline{y}}.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 261:} {\it $$\fr \overline{xy} = \overline{x}\,\overline{y}.$$}%

{\bf Beweis:} F\"ur
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2]$$
ist
$$\displaylines{{\fr \overline{xy}} = [\Xi_1\Eta_1 - \Xi_2\Eta_2,\> -(\Xi_1\Eta_2 + \Xi_2\Eta_1)]\cr
= [\Xi_1\Eta_1 - (-\Xi_2)(-\Eta_2),\> \Xi_1(-\Eta_2) + (-\Xi_2)\Eta_1)]\cr
= [\Xi_1,\> -\Xi_2][\Eta_1,\> -\Eta_2] = \overline{x}\,\overline{y}.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 262:} {\it $$\fr \overline{x - y} = \overline{x} - \overline{y}.$$}%

{\bf Beweis:} Wegen
$$\fr x = (x - y) + y$$
ist nach Satz 260
$$\fr \overline{x} = \overline{x - y} + \overline{y},$$
$$\fr \overline{x - y} = \overline{x} - \overline{y}.$$
\medskip

{\bf Satz 263:} {\it F\"ur
$$\fr y \ne n$$
ist
$$\fr \overline{\left({x \over y}\right)} = {\overline{x} \over \overline{y}}.$$}%

{\bf Beweis:} Wegen
$$\fr x = {x \over y}y$$
ist nach Satz 261
$$\fr \overline{x} = \overline{\left({x \over y}\right)}\overline{y};$$
nach Satz 258 ist
$$\fr \overline{y} \ne n,$$
also
$$\fr \overline{\left({x \over y}\right)} = {\overline{x} \over \overline{y}}.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~7.}
\medskip

\centerline{\bf Absoluter Betrag.}
\bigskip

{\bf Definition 66:} {\it Es bedeute $\sqrt{\zeta}$ die nach Satz 161 eindeutig
vorhandene {\rm (positive)} L\"osung $\xi$ von
$$\xi\xi = \zeta.$$}%
\medskip

{\bf Definition 67:} {\it $$\sqrt{0} = 0.$$}%
\medskip

{\bf Definition 68:} {\it $$|[\Xi_1,\> \Xi_2]| = \sqrt{\Xi_1\Xi_1 + \Xi_2\Xi_2}.$$
{\rm ($|\ |$ sprich: absoluter Betrag.)}}
\medskip

{\bf Satz 264:} {\it $$|{\fr x}| \cases{> 0\quad\hbox{f\"ur}\quad {\fr x \ne n},\cr
= 0\quad\hbox{f\"ur}\quad {\fr x = n}.\cr}$$}%

{\bf Beweis:} Definitionen 68, 66 und 67.
\medskip

{\bf Satz 265:} {\it $$|[\Xi_1,\> \Xi_2]| \ge |\Xi_1|,$$
$$|[\Xi_1,\> \Xi_2]| \ge |\Xi_2|.$$}%

{\bf Beweis:} $$|[\Xi_1,\> \Xi_2]|\>|[\Xi_1,\> \Xi_2]|$$
$$= \Xi_1\Xi_1 + \Xi_2\Xi_2 \cases{\ge \Xi_1\Xi_1 = |\Xi_1||\Xi_1|,\cr
\ge \Xi_2\Xi_2 = |\Xi_2||\Xi_2|.\cr}$$

Aus
$$\Xi\Xi \ge \Eta\Eta,\quad \Xi \ge 0,\quad \Eta \ge 0$$
folgt
$$\Xi \ge \Eta,$$
da sonst
$$0 < \Xi < \Eta,$$
$$\Xi\Xi < \Eta\Eta$$
w\"are.  Damit ist Satz 265 bewiesen.
\medskip

{\bf Satz 266:} {\it Aus
$$[\Xi,\> 0][\Xi,\> 0] = [\Eta,\> 0][\Eta,\> 0],\quad \Xi \ge 0,\quad \Eta \ge 0$$
folgt
$$\Xi = \Eta.$$}%

{\bf Beweis:} Wegen
$$[\Zeta,\> 0][\Zeta,\> 0] = [\Zeta\Zeta - 0 \cdot 0,\> \Zeta \cdot 0 + 0 \cdot \Zeta] = [\Zeta\Zeta,\> 0]$$
ist nach voraussetzung
$$[\Xi\Xi,\> 0] = [\Eta\Eta,\> 0],$$
$$\Xi\Xi = \Eta\Eta.$$

Ist
$$\Xi > 0,$$
so folgt
$$\Eta\Eta = \Xi\Xi > 0,$$
$$\Eta > 0,$$
also nach Satz 161
$$\Xi = \Eta.$$

Ist
$$\Xi = 0,$$
so folgt
$$\Eta\Eta = \Xi\Xi = 0,$$
$$\Eta = 0 = \Xi.$$
\medskip

{\bf Satz 267:} {\it $$[{\fr |x|},\> 0][{\fr |x|},\> 0] = {\fr x\overline{x}}.$$}%

{\bf Beweis:} Wird
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2]$$
gesetzt, so ist
$$\displaylines{[{\fr |x|},\> 0][{\fr |x|},\> 0] = [{\fr |x||x|},\> 0] = [\Xi_1\Xi_1 + \Xi_2\Xi_2,\> 0]\cr
= [\Xi_1\Xi_1 - \Xi_2(-\Xi_2),\> \Xi_1(-\Xi_2)+\Xi_2\Xi_1] = [\Xi_1,\> \Xi_2][\Xi_1,\> -\Xi_2] = {\fr  x\overline{x}}.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 268:} {\it $$\fr |xy| = |x||y|.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 267 und Satz 261 ist
$$\displaylines{[{\fr |xy|},\> 0][{\fr |xy|},\> 0] = {\fr (xy)\overline{xy} = (xy)(\overline{x}\,\overline{y}) = (x\overline{x})(y\overline{y})}\cr
= ([{\fr |x|},\> 0][{\fr |x|},\> 0])([{\fr |y|},\> 0][{\fr |y|},\> 0])\cr
= ([{\fr |x|},\> 0][{\fr |y|},\> 0])([{\fr |x|},\> 0][{\fr |y|},\> 0])\cr
= [{\fr |x||y|} - 0 \cdot 0,\> {\fr |x|} \cdot 0 + 0 \cdot {\fr |y|}][{\fr |x||y|} - 0 \cdot 0,\> {\fr |x|} \cdot 0 + 0 \cdot {\fr |y|}]\cr
= [{\fr |x||y|},\> 0][{\fr |x||y|},\> 0],\cr}$$
nach Satz 266 also
$$\fr |xy| = |x||y|.$$
\medskip

{\bf Satz 269:} {\it Ist
$$\fr y \ne n,$$
so ist
$$\fr \left|{x \over y}\right| = {|x| \over |y|}.$$}%

{\bf Beweis:} $${\fr |y|} > 0,$$
$$\fr {x \over y}y = x,$$
also nach Satz 268
$$\fr \left|{x \over y}\right||y| = |x|,$$
$$\fr \left|{x \over y}\right| = {|x| \over |y|}.$$
\medskip

{\bf Satz 270:} {\it Aus
$$\fr x + y = e$$
folgt
$${\fr |x| + |y|} \ge 1.$$}%

{\bf Beweis:} Ist
$${\fr x} = [\Xi_1,\> \Xi_2],\quad {\fr y} = [\Eta_1,\> \Eta_2],$$
so ist nach Satz 265
$${\fr |x|} \ge |\Xi_1| \ge \Xi_1,$$
$${\fr |y|} \ge |\Eta_1| \ge \Eta_1,$$
also
$${\fr |x| + |y|} \ge \Xi_1 + \Eta_1 = 1.$$
\medskip

{\bf Satz 271:} {\it $$\fr |x + y| \le |x| + |y|.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Ist
$$\fr x + y = n,$$
so ist die linke Seite der Behauptung $0$, also $\le$ der rechten.

2) Ist
$$\fr x + y \ne n,$$
so ist, wegen
$$\fr {x \over x + y} + {y \over x + y} = {x + y \over x + y} = e,$$
nach Satz 270
$${\fr \left|{x \over x + y}\right| + \left|{y \over x + y}\right|} \ge 1,$$
also nach Satz 269
$${\fr {|x| \over |x + y|} + {|y| \over |x + y|}} \ge 1,$$
$$\fr |x| + |y| = |x + y|\left({|x| \over |x + y|} + {|y| \over |x + y|}\right) \ge |x + y|.$$
\medskip

{\bf Satz 272:} {\it $$\fr |-x| = |x|.$$}%

{\bf Beweis:} $$(-\Xi_1)(-\Xi_1) + (-\Xi_2)(-\Xi_2) = \Xi_1\Xi_1 + \Xi_2\Xi_2.$$
\medskip

{\bf Satz 273:} {\it $$\fr |x - y| \ge \bigl||x| - |y|\bigr|.$$}%

{\bf Beweis:} $$\fr x = y + (x - y),$$
also nach Satz 271
$$\fr |x| \le |y| + |x - y|,$$
$$\fr |x - y| \ge |x| - |y|.$$
Hieraus folgt, wenn $\fr x$ und $\fr y$ vertauscht werden,
$$\fr |y - x| \ge |y| - |x|,$$
also nach Satz 272
$$\fr |x - y| = |-(y - x)| = |y - x| \ge |y| - |x| = -(|x| - |y|).$$

Aus
$$\Xi \ge \Eta,\quad \Xi \ge -\Eta$$
folgt aber, da $|\Eta|$ entweder $\Eta$ oder $-\Eta$ ist,
$$\Xi \ge |\Eta|.$$
Daher ist
$$\fr |x - y| \ge \bigl||x| - |y|\bigr|.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~8.}
\medskip

\centerline{\bf Summen und Produkte.}
\bigskip

{\bf Satz 274:} {\it Ist
$$x < y,$$
so konnen die $m \le x$ nicht auf die $n \le y$ ein-eindeutig bezogen werden.}

Unter Beziehen verstehe ich in diesem Paragraphen immer
ein-eindeutiges Beziehen.

{\bf Beweis:} Es sei $\fr M$ die Menge der $x$, f\"ur die die Behauptung
bei allen $y > x$ wahr ist.

I) Ist
$$1 < y,$$
so kann $m = 1$ nicht auf die $n \le y$ bezogen werden; denn ent%
spricht dem $m = 1$ das $n = 1$, so bleibt kein $m$ f\"ur $n = y$ \"ubrig;
ist $m = 1$ auf ein $n > 1$ bezogen, so bleibt kein $m$ f\"ur $n = 1$
\"ubrig.

1 geh\"ort also zu $\fr M$.

II) Es geh\"ore $x$ zu $\fr M$, und es sei
$$x + 1 < y.$$
Wenn eine Beziehung der $m \le x + 1$ auf die $n \le y$ vorliegt, so
unterscheiden wir zwei F\"alle.

$\alpha$) Dem $m = x + 1$ entspricht $n = y$.  Dann sind die $m \le x$
auf die $n \le y - 1$ bezogen; das geht nicht wegen
$$x < y - 1.$$

$\beta$) Dem $m = x + 1$ entspricht ein $n = n_0 < y$. Dann sei $m = m_0$
die dem $n = y$ entsprechende Zahl, also $m_0 < x + 1$. Man be%
trachte nun folgende abge\"anderte Beziehung der $m \le x + 1$ auf
die $n \le y$.
$$\cases{\hbox{\rm Ist $m \ne m_0$, $m \ne x + 1$, so gelte das Alte.}\cr
\hbox{\rm $m = m_0$ entspreche $n = n_0$.}\cr
\hbox{\rm $m = x + 1$ entspreche $n = y$.}\cr}$$

Dann haben wir eine Beziehung von der soeben in $\alpha$) als unm\"og%
lich nachgewiesenen Art.

Also geh\"ort $x + 1$ zu $\fr M$, und die Behauptung ist bewiesen.
\bigskip

Da die Beweise der folgenden S\"atze 275 bis 278 und 280 bis
286 nebst zugeh\"origen Definitionen f\"ur Summen und Produkte
w\"ortlich dieselben w\"aren, machen wir das, um lange Wieder%
holungen zu vermeiden, nur einmal und w\"ahlen ein neutrales
Zeichen $\oplus$, welches durchweg $+$ oder durchweg $\cdot$ bedeuten soll.
Das einstweilen neutrale Zeichen $\coprod$ wird sp\"ater entsprechend in
zwei Zeichen ($\sum$ bei $+$, $\prod$ bei $\cdot$) gespalten werden.

Unter definiert verstehe ich in dieser ganzen Entwicklung:
als komplexe Zahl definiert.
\medskip

{\bf Satz 275:} {\it Es sei $x$ fest, ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x$ definiert.  Dann gibt
es genau ein f\"ur $n \le x$ definiertes
$${\fr g}_x(n)$$
{\rm (ausf\"uhrlicher geschrieben
$${\fr g}_{x,{\fr f}}(n)$$
abgek\"urzt geschrieben
$${\fr g}(n))$$}
mit folgenden Eigenschaften:
$${\fr g}_x(1) = {\fr f}(1),$$
$${\fr g}_x(n + 1) = {\fr g}_x(n) \oplus {\fr f}(n + 1)\quad\hbox{\rm f\"ur}\quad n < x.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Zun\"achst zeigen wir, da{\ss} es h\"ochstens ein solches
${\fr g}_x(n)$ gibt.

Es m\"ogen ${\fr g}(n)$ und ${\fr h}(n)$ die geforderten Eigenschaften haben.
$\fr M$ sei die aus den $n \le x$ mit
$${\fr g}(n) = {\fr h}(n)$$
und den $n > x$ bestehende Menge.

I) $${\fr g}(1) = {\fr f}(1) = {\fr h}(1);$$
$1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) $n$ geh\"ore zu $\fr M$.  Dann ist

entweder
$$n < x,\quad {\fr g}(n) = {\fr h}(n),$$
also
$${\fr g}(n + 1) = {\fr g}(n) \oplus {\fr f}(n + 1) = {\fr h}(n) \oplus {\fr f}(n + 1) = {\fr h}(n + 1),$$
also $n + 1$ zu $\fr M$ geh\"orig;

oder
$$n \ge x,$$
also
$$n + 1 > x$$
und $n + 1$ auch zu $\fr M$ geh\"orig.

Daher ist $\fr M$ die Menge aller positiven ganzen Zahlen: f\"ur
jedes $n \le x$ ist also
$${\fr g}(n) = {\fr h}(n),$$
w. z. b. w.

2) Wir zeigen jetzt, da{\ss} es zu jedem $x$, wenn ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x$
definiert ist, ein passendes ${\fr g}_x(n)$ gibt.

$\fr M$ sei die Menge der $x$, f\"ur die dies wahr ist, f\"ur die es also,
wenn ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x$ definiert ist, nach 1) genau ein passendes
${\fr g}_x(n)$ gibt.

I) F\"ur $x = 1$ leistet, wenn ${\fr f}(1)$ definiert ist.
$${\fr g}_x(1) = {\fr f}(1)$$
das Gew\"unschte (da die zweite Forderung wegen der Unm\"oglich%
keit von $n < 1$ nicht erhoben wird).  $1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) Es sei $x$ zu $\fr M$ geh\"orig.  Wenn ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x + 1$ definiert
ist, ist es f\"ur $n \le x$ definiert, also hier genau ein zugeh\"origes ${\fr g}_x(n)$
vorhanden.  Nun leistet
$${\fr g}_{x + 1}(n) = \cases{{\fr g}_x(n) \quad\hbox{f\"ur}\quad n \le x,\cr
{\fr g}_x(n) \oplus {\fr f}(n + 1) \quad\hbox{f\"ur}\quad n = x + 1\cr}$$
das Gew\"unschte bei $x + 1$.  Denn erstens ist
$${\fr g}_{x + 1}(1) = {\fr g}_x(1) = {\fr f}(1).$$
Zweitens gilt f\"ur
$$n < x$$
(wegen $n + 1 \le x$)
$${\fr g}_{x + 1}(n + 1) = {\fr g}_x(n + 1) = {\fr g}_x(n) \oplus {\fr f}(n + 1) = {\fr g}_{x + 1}(n) \oplus {\fr f}(n + 1),$$
w\"ahrend f\"ur
$$n = x$$
$${\fr g}_{x + 1}(n + 1) = {\fr g}_x(n) \oplus {\fr f}(n + 1) = {\fr g}_{x + 1}(n) \oplus {\fr f}(n + 1)$$
ist; aus
$$n < x + 1$$
folgt also jedenfalls
$${\fr g}_{x + 1}(n + 1) = {\fr g}_{x + 1}(n) \oplus {\fr f}(n + 1).$$

Daher geh\"ort $x + 1$ zu $\fr M$, und $\fr M$ umfa{\ss}t alle positiven ganzen
Zahlen.
\medskip

{\bf Satz 276:} {\it Wenn ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x + 1$ definiert ist, gilt f\"ur die
zugeh\"origen ${\fr g}_x(n)$ und ${\fr g}_{x + 1}(n)$
$${\fr g}_{x + 1}(x + 1) = {\fr g}_x(x) \oplus {\fr f}(x + 1).$$}%

{\bf Beweis:} Das kam bei der Konstruktion in 2), II) des vorigen
Beweises vor.
\medskip

{\bf Definition 69:} {\it Ist ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x$ definiert, so ist
$$\coprod_{n = 1}^x {\fr f}(n) = {\fr g}_x(x) \quad (= {\fr g}_{x,{\fr f}}(x)).$$

Wenn $\oplus$ die Bedeutung $+$ hat, schreibt man
$$\sum_{n = 1}^x {\fr f}(n);$$
wenn $\oplus$ die Bedeutung $\cdot$ hat, schreibt man
$$\prod_{n = 1}^x {\fr f}(n);$$
{\rm ($\sum$ sprich: Summe; $\prod$ sprich: Produkt.)}}

Statt $n$ kann in diesen Zeichen auch jeder andere Buchstabe
stehen, der positive ganze Zahlen bezeichnet.
\medskip

{\bf Satz 277:} {\it Ist ${\fr f}(1)$ definiert, so ist
$$\coprod_{n = 1}^1 {\fr f}(n) = {\fr f}(1).$$}%

{\bf Beweis:} $${\fr g}_1(1) = {\fr f}(1).$$
\medskip

{\bf Satz 278:} {\it Ist ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x + 1$ definiert, so ist
$$\coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n) = \coprod_{n = 1}^{x}{\fr f}(n) \oplus {\fr f}(x + 1).$$}%

{\bf Beweis:} Satz 276.
\medskip

{\bf Satz 279:} {\it $$\sum_{n = 1}^x {\fr x} = {\fr x}[x,\> 0].$$}%

{\bf Beweis:} $\fr x$ sei fest, $\fr M$ die Menge der $x$, f\"ur die dies gilt.

I) Nach Satz 277 ist
$$\sum_{n = 1}^1{\fr x} = {\fr x} = {\fr xe} = {\fr x}[1,\> 0].$$
$1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) Wenn $x$ zu $\fr M$ geh\"ort, so folgt aus Satz 278
$$\displaylines{\sum_{n = 1}^{x + 1}{\fr x} = \sum_{n = 1}^x{\fr x} + {\fr x} = {\fr x}[x,\> 0] + {\fr x}[1,\> 0] = {\fr x}([x,\> 0] + [1,\> 0])\cr
= {\fr x}[x + 1,\> 0].\cr}$$
$x + 1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

Daher gilt die Behauptung f\"ur alle $x$.
\medskip

{\bf Satz 280:} {\it Sind ${\fr f}(1)$ und ${\fr f}(1 + 1)$ definiert, so ist
$$\coprod_{n = 1}^{1 + 1}{\fr f}(n) = {\fr f}(1) \oplus {\fr f}(1 + 1).$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 278 und Satz 277 ist
$$\coprod_{n = 1}^{1 + 1}{\fr f}(n) = \coprod_{n = 1}^1{\fr f}(n) \oplus {\fr f}(1 + 1) = {\fr f}(1) \oplus {\fr f}(1 + 1).$$
\medskip

{\bf Satz 281:} {\it Ist ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x + y$ definiert, so ist
$$\coprod_{n = 1}^{x + y}{\fr f}(n) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = 1}^y{\fr f}(x + n).$$}%

{\bf Beweis:} Bei festem $x$ sei $\fr M$ die Menge der $y$, f\"ur die dies gilt.

I) Ist ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x + 1$ definiert, so ist nach Satz 278 und
Satz 277
$$\coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus {\fr f}(x + 1) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = 1}^1{\fr f}(x + n).$$
$1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) $y$ geh\"ore zu $\fr M$.  Wenn ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x + (y + 1)$ definiert
ist, so ist nach Satz 278 (auf $x + y$ statt $x$ angewendet)
$$\displaylines{\coprod_{n = 1}^{x + (y + 1)}{\fr f}(n) = \coprod_{n = 1}^{(x + y) + 1}{\fr f}(n) = \coprod_{n = 1}^{x + y}{\fr f}(n) \oplus {\fr f}\bigl((x + y) + 1\bigr)\cr
= \left(\coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = 1}^y{\fr f}(x + n)\right) \oplus {\fr f}\bigl(x + (y + 1)\bigr)\cr
= \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus \left(\coprod_{n = 1}^y{\fr f}(x + n) \oplus {\fr f}\bigl(x + (y + 1)\bigr)\right),\cr}$$
also nach Satz 278 (auf $y$ statt $x$, ${\fr f}(x + n)$ statt ${\fr f}(n)$ angewendet)
$$= \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = 1}^{y + 1}{\fr f}(x + n).$$
$y + 1$ geh\"ort also zu $\fr M$, und der Satz ist bewiesen.
\medskip

{\bf Satz 282:} {\it Sind ${\fr f}(n)$ und ${\fr g}(n)$ f\"ur $n \le x$ definiert, so ist
$$\coprod_{n = 1}^x\bigl({\fr f}(n) \oplus {\fr g}(n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = 1}^x{\fr g}(n).$$}%

{\bf Beweis:} $\fr M$ sei die Menge der $x$, f\"ur die dies gilt.

I) Sind ${\fr f}(1)$ und ${\fr g}(1)$ definiert, so ist
$$\coprod_{n = 1}^1\bigl({\fr f}(n) \oplus {\fr g}(n)\bigr) = {\fr f}(1) \oplus {\fr g}(1) = \coprod_{n = 1}^1{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = 1}^1{\fr g}(n).$$
$1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) $x$ geh\"ore zu $\fr M$. Sind ${\fr f}(n)$ und ${\fr g}(n)$ f\"ur $n \le x + 1$ definiert,
so ist, mit R\"ucksicht auf
$$\displaylines{\fr (x \oplus y) \oplus (z \oplus u) = \bigl((x \oplus y) \oplus z\bigr) \oplus u = \bigl(z \oplus (x \oplus y)\bigr) \oplus u\cr
\fr = \bigl((z \oplus x) \oplus y\bigr) \oplus u = (z \oplus x) \oplus (y \oplus u) = (x \oplus z) \oplus (y \oplus u),\cr}$$
$$\displaylines{\coprod_{n = 1}^{x + 1}\bigl({\fr f}(n) \oplus {\fr g}(n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^x\bigl({\fr f}(n) \oplus {\fr g}(n)\bigr) \oplus \bigl({\fr f}(x + 1) \oplus {\fr g}(x + 1)\bigr)\cr
= \left(\coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = 1}^x{\fr g}(n)\right) \oplus \bigl({\fr f}(x + 1) \oplus {\fr g}(x + 1)\bigr)\cr
= \left(\coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus {\fr f}(x + 1)\right) \oplus \left(\coprod_{n = 1}^x{\fr g}(n) \oplus {\fr g}(x + 1)\right)\cr
= \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr g}(n).\cr}$$
Also geh\"ort $x + 1$ zu $\fr M$, und die Behauptung gilt stets.
\medskip

{\bf Satz 283:} {\it $s(n)$ beziehe die $n \le x$ auf die $m \le x$.  ${\fr f}(n)$ sei f\"ur
$n \le x$ definiert.  Dann ist
$$\coprod_{n = 1}^x{\fr f}\bigl(s(n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n).$$}%

{\bf Beweis:} Zur Abk\"urzung werde
$${\fr f}\bigl(s(n)\bigr) = {\fr g}(n)$$
gesetzt.

$\fr M$ sei die Menge der $x$, f\"ur die die Behauptung
$$\coprod_{n = 1}^x{\fr g}(n) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n)$$
(bei allen zul\"assigen $s$ und $\fr f$) wahr ist.

I) F\"ur
$$x = 1$$
ist
$$s(1) = 1,$$
also, wenn ${\fr f}(1)$ definiert ist,
$$\coprod_{n = 1}^x{\fr g}(n) = {\fr g}(1) = {\fr f}(1) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n).$$
$1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) $x$ geh\"ore zu $\fr M$.  Es beziehe $s(n)$ die $n \le x + 1$ auf die
$m \le x + 1$, und ${\fr f}(n)$ sei f\"ur $n \le x + 1$ definiert.

1) Falls
$$s(x + 1) = x + 1,$$
bezieht $s(n)$ die $n \le x$ auf die $m \le x$.  Alsdann ist
$$\coprod_{n = 1}^x{\fr g}(n) = {\fr g}(1) = {\fr f}(1) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n),$$
$${\fr g}(x + 1) = {\fr f}(x + 1),$$
also
$$\coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr g}(n) = \coprod_{n = 1}^x{\fr g}(n) \oplus {\fr g}(x + 1) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \oplus {\fr f}(x + 1) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n).$$

2) Falls
$$s(x + 1) < x + 1,\quad s(1) = 1,$$
bezieht $s(n)$ die $n$ mit $1 + 1 \le n \le x + 1$ auf die $m$ mit $1 + 1 \le m
\le x + 1$; also bezieht $s(1 + n) - 1$ die $n \le x$ auf die $m \le x$.
Daher ist
$$\displaylines{\coprod_{n = 1}^x{\fr g}(1 + n) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}\bigl(s(1 + n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^x{\fr f}\Bigl(1 + \bigl(s(1 + n) - 1\bigr)\Bigr)\cr
= \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(1 + n),\cr}$$
also nach Satz 281
$$\coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr g}(n) = {\fr g}(1) \oplus \coprod_{n = 1}^x{\fr g}(1 + n) = {\fr f}(1) \oplus \coprod_{n = 1}^x{\fr f}(1 + n) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n).$$

3) Falls
$$s(x + 1) < x + 1,\quad s(1) > 1,$$
werde
$$s(1) = a$$
gesetzt und $b$ aus
$$1 \le b \le x + 1,\quad s(b) = 1$$
bestimmt.  Dann ist
$$a > 1,\quad b > 1.$$

$\alpha$) Es sei
$$a < x + 1.$$
Dann bezieht sowohl
$$s_1(n) = \cases{1&f\"ur $n = 1$,\cr
a&f\"ur $n = b$,\cr
s(n)&f\"ur $1 < n \le x +1$, $n \ne b$}$$
als auch
$$s_2(n) = \cases{a&f\"ur $n = 1$,\cr
1&f\"ur $n = a$,\cr
n&f\"ur $1 < n \le x +1$, $n \ne a$}$$
die $n \le x + 1$ auf die $m \le x + 1$.

Nun ist
$$s(n) = s_2\bigl(s_1(n)\bigr) \quad\hbox{\rm f\"ur}\quad n \le x + 1.$$
Denn durch $s_2\bigl(s_1(n)\bigr)$ geht \"uber
$$\hbox{\rm $1$ via $1$ in $a = s(1),$}$$
$$\hbox{\rm $b$ via $a$ in $1 = s(b),$}$$
$$\hbox{\rm jedes andere $n \le x + 1$ via $s(n)$ in $s(n)$.}$$

$s_1(n)$ l\"a{\ss}t $1$, und $s_2(n)$ l\"a{\ss}t $x + 1$ unver\"andert.  Nach 2) und
1) ist also
$$\coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr g}(n) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}\bigl(s(n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}\Bigl(s_2\bigl(s_1(n)\bigr)\Bigr) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}\bigl(s_2(n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n).$$

$\beta$) Es sei
$$a = x + 1,\quad b < x + 1.$$
Dann bezieht
$$s_3(n) = \cases{b&f\"ur $n = 1$,\cr
1&f\"ur $n = b$,\cr
n&f\"ur $1 < n \le x +1$, $n \ne b$}$$
die $n \le x + 1$ auf die $m \le x + 1$.  Ferner ist
$$s(n) = s_1\bigl(s_3(n)\bigr) \quad\hbox{\rm f\"ur}\quad n \le x + 1.$$
Denn durch $s_1\bigl(s_3(n)\bigr)$ geht \"uber
$$\hbox{\rm $1$ via $b$ in $a = s(1),$}$$
$$\hbox{\rm $b$ via $1$ in $1 = s(b),$}$$
$$\hbox{\rm jedes andere $n \le x + 1$ via $n$ in $s(n)$.}$$

$s_3(n)$ l\"a{\ss}t $x + 1$ unver\"andert.  Nach 1) und 2) ist also
$$\coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr g}(n) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}\bigl(s(n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}\Bigl(s_1\bigl(s_3(n)\bigr)\Bigr) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}\bigl(s_1(n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n).$$

$\gamma$) Es sei
$$a = b = x + 1.$$

Ist $x = 1$, so ist
$$\coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr g}(n) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n)$$
trivial.

Ist $x > 1$, so bezieht
$$s_4(n) = \cases{1&f\"ur $n = 1$,\cr
x + 1&f\"ur $n = x + 1$,\cr
s(n)&f\"ur $1 < n < x +1$}$$
die $n \le x + 1$ auf die $m \le x + 1$.  Folglich ist nach 1)
$$\displaylines{\coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr g}(n) = \coprod_{n = 1}^x{\fr g}(n) \oplus {\fr g}(x + 1) = \left({\fr g}(1) \oplus \coprod_{n = 1}^{x - 1}{\fr g}(n + 1)\right) \oplus {\fr g}(x + 1)\cr
= {\fr g}(1) \oplus \left(\coprod_{n = 1}^{x - 1}{\fr g}(n + 1) \oplus {\fr g}(x + 1)\right)\cr
= \left({\fr g}(x + 1) \oplus \coprod_{n = 1}^{x - 1}{\fr g}(n + 1)\right) \oplus {\fr g}(1)\cr
= \left({\fr f}\bigl(s(x + 1)\bigr) \oplus \coprod_{n = 1}^{x - 1}{\fr f}\bigl(s(n + 1)\bigr)\right) \oplus {\fr f}\bigl(s(1)\bigr)\cr
= \left({\fr f}(1) \oplus \coprod_{n = 1}^{x - 1}{\fr f}\bigl(s_4(n + 1)\bigr)\right) \oplus {\fr f}(x + 1)\cr
= \left({\fr f}\bigl(s_4(1)\bigr) \oplus \coprod_{n = 1}^{x - 1}{\fr f}\bigl(s_4(n + 1)\bigr)\right) \oplus {\fr f}\bigl(s_4(x + 1)\bigr)\cr
= \coprod_{n = 1}^x{\fr f}\bigl(s_4(n)\bigr) \oplus {\fr f}\bigl(s_4(x + 1)\bigr) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}\bigl(s_4(n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n).\cr}$$

Daher geh\"ort $x + 1$ zu $\fr M$, und der Satz ist bewiesen.
\bigskip

In Definition 70 und Satz 284 bis Satz 286 bezeichnen aus%
nahmsweise lateinische Buchstaben ganze (nicht notwendig positive)
Zahlen.
\medskip

{\bf Definition 70:} {\it Es sei
$$y \le x,$$
${\fr f}(n)$ f\"ur
$$y \le n \le x$$
definiert. Dann ist
$$\coprod_{n = y}^x{\fr f}(n) = \coprod_{n = 1}^{(x + 1) - y}{\fr f}\bigl((n + y) - 1\bigr).$$}%

Statt $n$ kann auch irgend ein anderer Buchstabe stehen, der
ganze Zahlen bezeichnet.

Man beachte
$$\hbox{\rm $x + 1 > y$; $y \le (n + y) - 1 \le x$ f\"ur $1 \le n \le (x + 1) - y$;}$$
ferner, da{\ss} f\"ur $y = 1$ die Definition 70 (wie es sein mu{\ss}) im Ein%
klang mit Definition 69 steht.
\medskip

{\bf Satz 284:} {\it Es sei
$$y \le u < x;$$
${\fr f}(n)$ sei f\"ur
$$y \le n \le x$$
definiert. Dann ist
$$\coprod_{n = y}^x{\fr f}(n) = \coprod_{n = y}^u{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = u + 1}^x{\fr f}(n).$$}%

{\bf Beweis:} Nach Definition 70 und Satz 281 ist
$$\displaylines{\coprod_{n = y}^x{\fr f}(n) = \coprod_{n = 1}^{(x + 1) - y}{\fr f}\bigl((n + y) - 1\bigr)\cr
= \coprod_{n = 1}^{(u + 1) - y}{\fr f}\bigl((n + y) - 1\bigr) \oplus \coprod_{n = 1}^{x - u}{\fr f}\Biggl(\biggl(\Bigl(\bigl((u + 1) - y\bigr) + n\Bigr) + y\biggr) - 1\Biggr);\cr}$$
denn
$$\displaylines{\bigl((u + 1) - y\bigr) + (x - u) = \bigl(x + (-u)\bigr) + \bigl((u + 1) + (-y)\bigr)\cr
= \Bigl(x + \bigl((-u) + (u + 1)\bigr)\Bigr) + (-y) = (x + 1) - y.\cr}$$
Nun ist
$$\displaylines{\Bigl(\bigl((u + 1) - y\bigr) + n\Bigr) + y = \bigl((u + 1) - y\bigr) + (y + n)\cr
= \Bigl(\bigl((u + 1) - y\bigr) + y\Bigr) + n = n + (u + 1),\cr}$$
also nach Definition 70
$$\displaylines{\coprod_{n = y}^x{\fr f}(n) = \coprod_{n = y}^u{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = 1}^{(x + 1) - (u + 1)}{\fr f}\Bigl(\bigl(n + (u + 1)\bigr) - 1\Bigr)\cr
= \coprod_{n = y}^u{\fr f}(n) \oplus \coprod_{n = u + 1}^x{\fr f}(n).\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 285:} {\it Es sei
$$y \le x,$$
${\fr f}(n)$ f\"ur
$$y \le n \le x$$
definiert.  Dann ist
$$\coprod_{n = y}^x{\fr f}(n) = \coprod_{n = y + v}^{x + v}{\fr f}(n - v).$$}%

{\bf Beweis:} Nach Definition 70 ist die linke Seite der Behauptung
$$= \coprod_{n = 1}^{(x + 1) - y}{\fr f}\bigl((n + y) - 1\bigr),$$
die rechte (man beachte $y \le n - v \le x$ f\"ur $y + v \le n \le x + v$)
$$= \coprod_{n = 1}^{((x + v) + 1) - (y + v)}{\fr f}\biggl(\Bigl(\bigl(n + (y + v)\bigr) - 1\Bigr) - v\biggr);$$
hierin ist
$$\displaylines{\bigl((x + v) + 1\bigr) - (y + v) = \bigl(1 + (x + v)\bigr) + \bigl((-v) + (-y)\bigr)\cr
= \Bigl(1 + \bigl((x + v) + (-v)\bigr)\Bigr) + (-y) = (1 + x) - y = (x + 1) - y\cr}$$
und
$$\displaylines{\Bigl(\bigl(n + (y + v)\bigr) - 1\Bigr) - v = \bigl(n + (y + v)\bigr) - (1 + v) = \bigl((n + y) + v\bigr) + \bigl(-v + (-1)\bigr)\cr
= \Bigl(\bigl((n + y) + v\bigr) + (-v)\Bigr) + (-1) = \Bigl((n + y) + \bigl(v + (-v)\bigr)\Bigr) - 1 = (n + y) - 1.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 286:} {\it Es sei
$$y \le x,$$
${\fr f}(n)$ f\"ur
$$y \le n \le x$$
definiert.  $s(n)$ beziehe die $n$ mit $y \le n \le x$ auf die $m$ mit $y \le m \le x$.
Dann ist
$$\coprod_{n = y}^x{\fr f}\bigl(s(n)\bigr) = \coprod_{n = y}^x{\fr f}(n).$$}%

{\bf Beweis:} $$s_1(n) = s\bigl((n + y) - 1\bigr) - (y - 1)$$
bezieht die positiven $n \le (x + 1) - y$ auf die positiven $m \le (x + 1) - y$.
Daher ist nach Satz 283
$$\displaylines{\coprod_{n = y}^x{\fr f}\bigl(s(n)\bigr) = \coprod_{n = 1}^{(x + 1) - y}{\fr f}\Bigr(s\bigl((n + y) - 1\bigr)\Bigr) = \coprod_{n = 1}^{(x + 1) - y}{\fr f}\bigl(s_1(n) + (y - 1)\bigr)\cr
= \coprod_{n = 1}^{(x + 1) - y}{\fr f}\bigl(n + (y - 1)\bigr) = \coprod_{n = 1}^{(x + 1) - y}{\fr f}\bigl((n + y) - 1\bigr) = \coprod_{n = y}^x{\fr f}(n).\cr}$$
\bigskip

\"Ublich ist statt
$$\sum_{n = y}^x{\fr f}(n)$$
auch die saloppe Schreibweise
$${\fr f}(y) + {\fr f}(y + 1) + \cdots + {\fr f}(x)$$
(und entsprechend beim Produkt); aber v\"ollig einwandfrei ist z. B.
$${\fr f}(1) + {\fr f}(1 + 1) + {\fr f}\bigl((1 + 1) + 1) + {\fr f}\Bigl(\bigl((1 + 1) + 1\bigr) + 1\Bigr),$$
mit anderen Worten
$$\fr a + b + c + d$$
(was also nach Definition auf die alte Addition zur\"uckf\"uhrt und
$$\fr \bigl((a + b) + c\bigr) + d$$
bedeutet). oder z. B.
$$\fr a b c d f g h i k l m o p q r s t u v w x y z.$$

Man kann auch ruhig z. B.
$$\fr a - b + c$$
im Sinne von
$$\fr a + (-b) + c$$
schreiben, da jedenfalls
$${\fr f}(1) + {\fr f}(1 + 1) + {\fr f}\bigl((1 + 1) + 1\bigr)$$
mit
$${\fr f}(1) = {\fr a},\quad {\fr f}(1 + 1) = {\fr -b},\quad {\fr f}\bigl((1 + 1) + 1\bigr) = {\fr c}$$
gemeint ist.
\bigskip

Nunmehr bedeuten kleine lateinische Buchstaben wiederum
positive ganze Zahlen.
\medskip

{\bf Satz 287:} {\it Ist ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x$ definiert, so gibt es ein $\Xi$, so da{\ss}
$$\left|\sum_{n = 1}^x{\fr f}(n)\right| \le \Xi,$$
$$\sum_{n = 1}^x[|{\fr f}(n)|,\> 0] = [\Xi,\> 0].$$}%

{\bf Beweis:} $\fr M$ sei die Menge der $x$, f\"ur die es (bei beliebigem
${\fr f}(n)$) ein solches $\Xi$ gibt.

I) Ist ${\fr f}(1)$ definiert, so ist
$$\left|\sum_{n = 1}^1{\fr f}(n)\right| = |{\fr f}(1)|,$$
$$\sum_{n = 1}^1[|{\fr f}(n)|,\> 0] = [|{\fr f}(1)|,\> 0];$$
also leistet
$$\Xi = |{\fr f}(1)|$$
bei $x = 1$ das Gew\"unschte.  $1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) $x$ geh\"ore zu $\fr M$.  Ist ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x + 1$ definiert, so gibt
es ein $\Xi_1$ mit
$$\left|\sum_{n = 1}^x{\fr f}(n)\right| \le \Xi_1,$$
$$\sum_{n = 1}^x[|{\fr f}(n)|,\> 0] = [\Xi_1,\> 0].$$
Nach Satz 278 und Satz 271 ist
$$\displaylines{\left|\sum_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n)\right| = \left|\sum_{n = 1}^x{\fr f}(n) + {\fr f}(x + 1)\right| \le \left|\sum_{n = 1}^x{\fr f}(n)\right| + |{\fr f}(x + 1)|\cr
\le \Xi_1 + |{\fr f}(x + 1)|,\cr}$$
also, wenn
$$\Xi = \Xi_1 + |{\fr f}(x + 1)|$$
gesetzt wird,
$$\left|\sum_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n)\right| \le \Xi.$$
Andererseits ist nach Satz 278
$$\displaylines{\sum_{n = 1}^{x + 1}[|{\fr f}(n)|,\> 0] = \sum_{n = 1}^x[|{\fr f}(n)|,\> 0] + [|{\fr f}(x + 1)|,\> 0]\cr
= [\Xi_1,\> 0] + [|{\fr f}(x + 1)|,\> 0] = [\Xi_1 + |{\fr f}(x + 1)|,\> 0 + 0] = [\Xi,\> 0].\cr}$$
$\Xi$ leistet also das gew\"unschte bei $x + 1$; also geh\"ort $x + 1$ zu $\fr M$,
und der Satz ist bewiesen.
\medskip

{\bf Satz 288:} {\it Ist ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x$ definiert, so ist
$$\left[\left|\prod_{n = 1}^x{\fr f}(n)\right|,\> 0\right] = \prod_{n = 1}^x[|{\fr f}(n)|,\> 0].$$}%

{\bf Beweis:} $\fr M$ sei die Menge der $x$, f\"ur die dies gilt.

I) Ist ${\fr f}(1)$ definiert, so ist
$$\left[\left|\prod_{n = 1}^1{\fr f}(n)\right|,\> 0\right] = [|{\fr f}(1)|,\> 0] = \prod_{n = 1}^1[|{\fr f}(n)|,\> 0].$$
Also geh\"ort $1$ zu $\fr M$.

II) $x$ geh\"ore zu $\fr M$.  Ist ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x + 1$ definiert, so ist
nach Satz 278 und Satz 268
$$\displaylines{\prod_{n = 1}^{x + 1}[|{\fr f}(n)|,\> 0] = \prod_{n = 1}^x[|{\fr f}(n)|,\> 0] \cdot [|{\fr f}(x + 1)|,\> 0]\cr
= \left[\left|\prod_{n = 1}^x{\fr f}(n)\right|,\> 0\right] \cdot [|{\fr f}(x + 1)|,\> 0]\cr
= \left[\left|\prod_{n = 1}^x{\fr f}(n)\right| \cdot |{\fr f}(x + 1)| - 0 \cdot 0,\> \left|\prod_{n = 1}^x{\fr f}(n)\right| \cdot 0 + 0 \cdot |{\fr f}(x + 1)|\right]\cr
= \left[\left|\prod_{n = 1}^x{\fr f}(n)\right| \cdot |{\fr f}(x + 1)|,\> 0\right] = \left[\left|\prod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \cdot {\fr f}(x + 1)\right|,\> 0\right]\cr
= \left[\left|\prod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n)\right|,\> 0\right]\cr}$$
also $x + 1$ zu $\fr M$ geh\"orig, und der Satz ist bewiesen.
\medskip

{\bf Satz 289:} {\it Ist ${\fr f}(n)$ f\"ur $n \le x$ definiert, so ist
$$\prod_{n = 1}^x{\fr f}(n) = {\fr n}$$
dann und nur dann, wenn ein $n \le x$ mit
$${\fr f}(n) = {\fr n}$$
vorhanden ist.}

{\bf Beweis:} {\fr M} sei die Menge der $x$, f\"ur die dies gilt.

I) $$\prod_{n = 1}^1{\fr f}(n) = {\fr n}$$
ist mit
$${\fr f}(1) = {\fr n}$$
identisch.  Also geh\"ort $1$ zu $\fr M$.

II) $x$ geh\"ore zu $\fr M$.
$$\prod_{n = 1}^{x + 1}{\fr f}(n) = {\fr n}$$
bedeutet
$$\prod_{n = 1}^x{\fr f}(n) \cdot {\fr f}(x + 1) = {\fr n};$$
nach Satz 221 ist hierf\"ur notwendig und hinreichend
$$\prod_{n = 1}^x{\fr f}(n) = {\fr n} \quad\hbox{\rm oder}\quad {\fr f}(x + 1) = {\fr n},$$
also (da $x$ zu $\fr M$ geh\"ort) notwendig und hinreichend
$$\hbox{\rm ${\fr f}(n) = {\fr n}$ f\"ur ein $n \le x$ oder f\"ur $n = x + 1$.}$$
$x + 1$ geh\"ort also zu $\fr M$, und der Satz ist bewiesen.
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~9.}
\medskip

\centerline{\bf Potenzen.}
\bigskip

In diesem Paragraphen m\"ogen kleine lateinische Buchstaben
ganze Zahlen bezeichnen.

{\bf Definition 71:}
{\it $${\fr x}^x = \cases{\prod_{n = 1}^x{\fr x}&f\"ur $x > 0$,\cr
{\fr e}&f\"ur $\fr x \ne n$, $x = 0$,\cr
{\fr e} \over {\fr x}^{|x|}&f\"ur $\fr x \ne n$, $x < 0$.\cr}$$
{\rm (Sprich: $\fr x$ hoch $x$.)}}  Nicht definiert ist also ${\fr x}^x$ lediglich f\"ur
$${\fr x = n,}\quad x \le 0.$$
Man beachte, da{\ss} f\"ur
$${\fr x \ne n,}\quad x < 0.$$
nach der ersten Zeile der Definition 71 und Satz 289
$${\fr x}^{|x|} \ne {\fr n}$$
ist, so da{\ss} dann ${\fr e} \over {\fr x}^{|x|}$, einen Sinn hat.
\medskip

{\bf Satz 290:} {\it F\"ur
$$\fr x \ne n$$
ist
$${\fr x}^x \ne {\fr n}.$$}%

{\bf Beweis:} F\"ur $x > 0$ folgt dies aus Satz 289, f\"ur $x = 0$ aus
der Definition und f\"ur $x < 0$ aus
$${\fr x}^x {\fr x}^{|x|} \ne {\fr n}.$$
\medskip

{\bf Satz 291:} {\it $${\fr x}^1 = {\fr x}.$$}%

{\bf Beweis:} $${\fr x}^1 = \prod_{n = 1}^1{\fr x} = {\fr x}.$$
\medskip

{\bf Satz 292:} {\it Es sei
$$x > 0$$
oder
$$\fr x \ne n,\quad y \ne n.$$
Dann ist
$$({\fr xy})^x = {\fr x}^x {\fr y}^x.$$}%

{\bf Vorbemerkung:} Beide Seiten haben jedenfalls einen Sinn;
denn f\"ur $x \le 0$ ist
$$\fr xy \ne n.$$

{\bf Beweis:} 1) Bei festen $\fr x$, $\fr y$ sei $\fr M$ die Menge der $x > 0$ mit
$$({\fr xy})^x = {\fr x}^x {\fr y}^x.$$

I) Nach Satz 291 ist
$$({\fr xy})^1 = {\fr xy} = {\fr x}^1 {\fr y}^1,$$
also $1$ zu $\fr M$ geh\"orig.

II) Ist $x$ zu $\fr M$ geh\"orig, so ist
$$\displaylines{({\fr xy})^{x + 1} = \prod_{n = 1}^{x + 1}({\fr xy}) = \prod_{n = 1}^x({\fr xy}) \cdot ({\fr xy}) = ({\fr x}^x {\fr y}^x)({\fr xy}) = ({\fr x}^x {\fr x})({\fr y}^x {\fr y})\cr
= \left(\prod_{n = 1}^x{\fr x} \cdot {\fr x}\right)\left(\prod_{n = 1}^x{\fr y} \cdot {\fr y}\right) = \prod_{n = 1}^{x + 1}{\fr x} \cdot \prod_{n = 1}^{x + 1}{\fr y} = {\fr x}^{x + 1} {\fr y}^{x + 1},\cr}$$
also $x + 1$ zu $\fr M$ geh\"orig.

F\"ur $x > 0$ ist also stets
$$({\fr xy})^x = {\fr x}^x {\fr y}^x.$$

2) Es sei
$$x = 0,\quad {\fr x \ne n,\quad y \ne n.}$$
Dann ist
$$({\fr xy})^x = {\fr e} = {\fr ee} = {\fr x}^x {\fr y}^x.$$

3) Es sei
$$x < 0,\quad {\fr x \ne n,\quad y \ne n.}$$
Nach 1) ist
$$({\fr xy})^{|x|} = {\fr x}^{|x|} {\fr y}^{|x|},$$
$${{\fr e} \over ({\fr xy})^{|x|}} = {{\fr e} \over {\fr x}^{|x|} {\fr y}^{|x|}} = {{\fr e} \over {\fr x}^{|x|}} \cdot {{\fr e} \over {\fr y}^{|x|}},$$
$$({\fr xy})^x = {\fr x}^x {\fr y}^x.$$
\medskip

{\bf Satz 293:} {\it $${\fr e}^x = {\fr e}.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 292 ist
$${\fr e}^x {\fr e} = {\fr e} = ({\fr ee})^x = {\fr e}^x {\fr e}^x,$$
$${\fr n} = {\fr e}^x {\fr e}^x - {\fr e}^x {\fr e} = {\fr e}^x ({\fr e}^x - {\fr e}),$$
also (nach Satz 290 und Satz 221)
$${\fr e}^x - {\fr e} = {\fr n},$$
$${\fr e}^x = {\fr e}.$$
\medskip

{\bf Satz 294:} {\it Es sei
$$x > 0,\quad y > 0$$
oder
$$\fr x \ne n.$$
Dann ist
$${\fr x}^x {\fr x}^y = {\fr x}^{x + y}.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Es sei
$$x > 0,\quad y > 0.$$
Dann ist nach Satz 281
$${\fr x}^x {\fr x}^y = \prod_{n = 1}^x{\fr x} \cdot \prod_{n = 1}^y{\fr x} = \prod_{n = 1}^{x + y}{\fr x} = {\fr x}^{x + y}.$$

2) Es sei
$$\fr x \ne n$$
und nicht zugleich
$$x > 0,\quad y > 0.$$

$\alpha$) Es sei
$$x < 0,\quad y < 0.$$
Dann ist nach 1)
$${\fr x}^{|x|} {\fr x}^{|y|} = {\fr x}^{|x| + |y|} = {\fr x}^{|x + y|},$$
$${\fr x}^x {\fr x}^y = {{\fr e} \over {\fr x}^{|x|}} \cdot {{\fr e} \over {\fr x}^{|y|}} = {{\fr e} \over {\fr x}^{|x|} {\fr x}^{|y|}} = {{\fr e} \over {\fr x}^{|x + y|}} = {\fr x}^{x + y}.$$

$\beta$) Es sei
$$x > 0,\quad y < 0.$$
Dann ist
$${\fr x}^x {\fr x}^y = {\fr x}^x {{\fr e} \over {\fr x}^{|y|}} = {{\fr x}^x \over {\fr x}^{|y|}}.$$

A) F\"ur
$$x > |y|$$
ist nach 1)
$${{\fr x}^x \over {\fr x}^{|y|}} = {{\fr x}^{|y|} {\fr x}^{x - |y|} \over {\fr x}^{|y|}} = {\fr x}^{x - |y|} = {\fr x}^{x + y}.$$

B) F\"ur
$$x = |y|$$
ist
$${{\fr x}^x \over {\fr x}^{|y|}} = {\fr e} = {\fr x}^0 = {\fr x}^{x + y}.$$

C) F\"ur
$$x < |y|$$
ist nach 1)
$${{\fr x}^x \over {\fr x}^{|y|}} = {{\fr x}^x {\fr e} \over {\fr x}^x {\fr x}^{|y| - x}} =  {{\fr e} \over {\fr x}^{|y| - x}} = {\fr x}^{x - |y|} = {\fr x}^{x + y}.$$

$\gamma$) Es sei
$$x < 0,\quad y > 0.$$
Dann ist nach $\beta$)
$${\fr x}^x {\fr x}^y = {\fr x}^y {\fr x}^x = {\fr x}^{y + x} = {\fr x}^{x + y}.$$

$\delta$) Es sei
$$x = 0.$$
Dann ist
$${\fr x}^x {\fr x}^y = {\fr e} {\fr x}^y = {\fr x}^y = {\fr x}^{0 + y} = {\fr x}^{x + y}.$$

$\epsilon$) Es sei
$$x \ne 0,\quad y = 0.$$
Dann ist nach $\delta$)
$${\fr x}^x {\fr x}^y = {\fr x}^y {\fr x}^x = {\fr x}^{y + x} = {\fr x}^{x + y}.$$
\medskip

{\bf Satz 295:} {\it F\"ur
$$\fr x \ne n$$
ist
$${{\fr x}^x \over {\fr x}^y} = {\fr x}^{x - y}.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 294 ist
$${\fr x}^{x - y} {\fr x}^y = {\fr x}^{(x - y) + y} = {\fr x}^x;$$
nach Satz 290 ist
$${\fr x}^y \ne {\fr n},$$
also
$${{\fr x}^x \over {\fr x}^y} = {\fr x}^{x - y}.$$
\medskip

{\bf Satz 296:} {\it F\"ur
$$\fr x \ne n$$
ist
$${{\fr e} \over {\fr x}^x} = {\fr x}^{-x}.$$}%

{\bf Beweis:} Nach Satz 295 ist
$${{\fr e} \over {\fr x}^x} = {{\fr x}^0 \over {\fr x}^x} = {\fr x}^{0 - x} = {\fr x}^{-x}.$$
\medskip

{\bf Satz 297:} {\it Es sei
$$x > 0,\quad y > 0$$
oder
$$\fr x \ne n.$$
Dann ist
$$\left({\fr x}^x\right)^y = {\fr x}^{xy}.$$}%

{\bf Beweis:} 1) Es sei
$${\fr x = n,}\quad x > 0,\quad y > 0.$$
Dann ist nach Satz 289
$$\left({\fr x}^x\right)^y = \left({\fr n}^x\right)^y = {\fr n}^y = {\fr n} = {\fr n}^{xy} = {\fr x}^{xy}.$$

2) Es sei
$$\fr x \ne n.$$

a) Bei festen $\fr x$, $x$ sei $\fr M$ die Menge der $y > 0$ mit
$$\left({\fr x}^x\right)^y = {\fr x}^{xy}.$$

I) $$\left({\fr x}^x\right)^1 = {\fr x}^x = {\fr x}^{x \cdot 1};$$
$1$ geh\"ort also zu $\fr M$.

II) $y$ geh\"ore zu $\fr M$.  Dann ist nach Satz 294
$$\left({\fr x}^x\right)^{y + 1} = \left({\fr x}^x\right)^y \left({\fr x}^x\right)^1 = {\fr x}^{xy} {\fr x}^x = {\fr x}^{xy + x} = {\fr x}^{x(y + 1)},$$
also $y + 1$ zu $\fr M$ geh\"orig.

F\"ur $y > 0$ ist also die Behauptung wahr.

b) Es sei
$$y = 0.$$
Dann ist
$$\left({\fr x}^x\right)^y = {\fr e} = {\fr x}^{xy}.$$

c) Es sei
$$y < 0.$$
Dann ist nach a)
$$\left({\fr x}^x\right)^{|y|} = {\fr x}^{x|y|},$$
also nach Satz 296 und a)
$$\left({\fr x}^x\right)^y = {{\fr e} \over \left({\fr x}^x\right)^{-y}} = {{\fr e} \over \left({\fr x}^x\right)^{|y|}} = {{\fr e} \over {\fr x}^{x|y|}} = {\fr x}^{-(x|y|)} = {\fr x}^{xy}.$$
\vfill\eject


\line{}\vskip 7\baselineskip
\centerline{{\S}~10.}
\medskip

\centerline{\bf Einordnung der reellen Zahlen.}
\bigskip

{\bf Satz 298:} {\it $$[\Xi + \Eta,\> 0] = [\Xi,\> 0] + [\Eta,\> 0];$$
$$[\Xi - \Eta,\> 0] = [\Xi,\> 0] - [\Eta,\> 0];$$
$$[\Xi\Eta,\> 0] = [\Xi,\> 0][\Eta,\> 0];$$
$$\left[{\Xi \over \Eta},\> 0\right] = {[\Xi,\> 0] \over [\Eta,\> 0]}, \quad\hbox{\it falls}\quad \Eta \ne 0;$$
$$[-\Xi,\> 0] = -[\Xi,\> 0];$$
$$|[\Xi,\> 0]| = |\Xi|.$$}%

{\bf Beweis:} 1) $$[\Xi,\> 0] + [\Eta,\> 0] = [\Xi + \Eta,\> 0 + 0] = [\Xi + \Eta,\> 0].$$

2) $$[\Xi,\> 0] - [\Eta,\> 0] = [\Xi - \Eta,\> 0 - 0] = [\Xi - \Eta,\> 0].$$

3) $$[\Xi,\> 0][\Eta,\> 0] = [\Xi\Eta - 0 \cdot 0,\> \Xi \cdot 0 + 0 \cdot \Eta] = [\Xi\Eta,\> 0].$$

4) Nach 3) ist, falls $\Eta \ne 0$,
$$[\Eta,\> 0]\left[{\Xi \over \Eta},\> 0\right] = \left[\Eta{\Xi \over \Eta},\> 0\right] = [\Xi,\> 0],$$
$${[\Xi,\> 0] \over [\Eta,\> 0]} = \left[{\Xi \over \Eta},\> 0\right].$$

5) $$-[\Xi,\> 0] = [-\Xi,\> -0] = [-\Xi,\> 0].$$

6) $$|\Xi| = \sqrt{|\Xi||\Xi|} = \sqrt{\Xi\Xi} = \sqrt{\Xi\Xi + 0 \cdot 0} = |[\Xi,\> 0]|.$$
\medskip

{\bf Satz 299:} {\it Die komplexen Zahlen der Form $[x,\> 0]$ gen\"ugen den
f\"unf Axiomen der nat\"urlichen Zahlen, wenn $[1,\> 0]$ an Stelle von $1$
genommen wird und
$$[x,\> 0]' = [x',\> 0]$$
gesetzt wird.}

{\bf Beweis:} $\fr [Z]$ sei die Menge der $[x,\> 0]$.

1) $[1,\> 0]$ geh\"ort zu $\fr [Z]$.

2) Mit $[x,\> 0]$ ist $[x,\> 0]'$ in $\fr [Z]$ vorhanden.

3) Stets ist
$$x' \ne 1,$$
also
$$[x',\> 0] \ne [1,\> 0],$$
$$[x,\> 0]' \ne [1,\> 0].$$

4) Aus
$$[x,\> 0]' = [y,\> 0]'$$
folgt
$$[x',\> 0] = [y',\> 0],$$
$$x' = y',$$
$$x = y,$$
$$[x,\> 0] = [y,\> 0].$$

5) Eine Menge $\fr [M]$ von Zahlen aus $\fr [Z]$ habe die Eigenschaften:

I) $[1,\> 0]$ geh\"ort zu $\fr [M]$.

II) Falls $[x,\> 0]$ zu $\fr [M]$ geh\"ort, so geh\"ort $[x,\> 0]'$ zu $\fr [M]$.

Dann bezeichne $\fr M$ die Menge der $x$, f\"ur die $[x,\> 0]$ zu $\fr [M]$ ge%
h\"ort.  Alsdann ist $1$ zu $\fr M$ geh\"orig und mit jedem $x$ von $\fr M$ auch
$x'$ zu $\fr M$ geh\"orig.  Also geh\"ort jede positive ganze Zahl $x$ zu
$\fr M$, also jedes $[x,\> 0]$ zu $\fr [M]$.
\bigskip

Da Summe, Differenz, Produkt und (wofern vorhanden) Quo%
tient zweier $[\Xi,\> 0]$ nach Satz 298 den alten Begriffen entsprechen,
desgleichen die Zeichen $-[\Xi,\> 0]$ und $|[\Xi,\> 0]|$; da man
$$[\Xi,\> 0] > [\Eta,\> 0] \quad\hbox{\rm f\"ur}\quad \Xi > \Eta,$$
$$[\Xi,\> 0] < [\Eta,\> 0] \quad\hbox{\rm f\"ur}\quad \Xi < \Eta$$
definieren kann, so haben also die komplexen Zahlen $[\Xi,\> 0]$ alle
Eigenschaften, die wir in Kapitel 4 f\"ur reelle Zahlen bewiesen
haben, und insbesondere die Zahlen $[x,\> 0]$ alle bewiesenen Eigen%
schaften der positiven ganzen Zahlen.

Daher werfen wir die reellen Zahlen weg, ersetzen sie durch
die entsprechenden komplexen Zahlen $[\Xi\> 0]$ und brauchen nur von
komplexen Zahlen zu reden.  (Die reellen Zahlen verbleiben aber
paarweise im Begriff der komplexen Zahl.)
\medskip

{\bf Definition 72:} {\it {\rm (Das freigewordene Zeichen)} $\Xi$ bezeichnet die
komplexe Zahl $[\Xi,\> 0]$, auf die auch das Wort reelle Zahl \"ubergeht.
Ebenso hei{\ss}t jetzt $[\Xi,\> 0]$ bei ganzem $\Xi$ ganze Zahl, bei rationalem $\Xi$
rationale Zahl. bei irrationalem $\Xi$ irrationale Zahl, bei positivem $\Xi$
positive Zahl, bei negativem $\Xi$ negative Zahl.}

Also schreiben wir z. B. $0$ statt $\fr n$, $1$ statt $\fr e$.

Nunmehr k\"onnen wir die komplexen Zahlen mit kleinen oder
gro{\ss}en Buchstaben beliebiger Alphabete (auch promiscue) bezeichnen.
F\"ur die folgende spezielle Zahl ist aber ein kleiner lateinischer
Buchstabe \"ublich auf Grund der
\medskip

{\bf Definition 73:} {\it $$i = [0,\> 1].$$}%
\medskip

{\bf Satz 300:} {\it $$ii = -1.$$}%

{\bf Beweis:} $$\displaylines{ii = [0,\> 1][0,\> 1] = [0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\> 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0]\cr
= [-1,\> 0] = -1.\cr}$$
\medskip

{\bf Satz 301:} {\it F\"ur reelle $u_1$, $u_2$ ist
$$u_1 + u_2 i = [u_1,\> u_2].$$
Zu jeder komplexen Zahl $x$ gibt es also genau ein Paar reeller Zahlen
$u_1$, $u_2$ mit
$$x = u_1 + u_2 i.$$}%

{\bf Beweis:} F\"ur reelle $u_1$, $u_2$ ist
$$\displaylines{u_1 + u_2 i = [u_1,\> 0] + [u_2,\> 0][0,\> 1] = [u_1,\> 0] + [u_2 \cdot 0 - 0 \cdot 1,\> u_2 \cdot 1 + 0 \cdot 0]\cr
= [u_1,\> 0] + [0,\> u_2] = [u_1,\> u_2].\cr}$$
\bigskip

Durch Satz 301 ist das Zeichen $[\ ]$ unn\"otig geworden; die
komplexen Zahlen sind eben die Zahlen $u_1 + u_2 i$, wo $u_1$ und $u_2$
reell sind; gleichen bzw. verschiedenen Paaren $u_1$, $u_2$ entsprechen
gleiche bzw. verschiedene Zahlen, und Summe, Differenz, Produkt
zweier komplexer Zahlen $u_1 + u_2 i$, $v_1 + v_2 i$ (wo $u_1$, $u_2$, $v_1$, $v_2$ reell
sind) bildet man nach den Formeln
$$(u_1 + u_2 i) + (v_1 + v_2 i) = (u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) i,$$
$$(u_1 + u_2 i) - (v_1 + v_2 i) = (u_1 - v_1) + (u_2 - v_2) i,$$
$$(u_1 + u_2 i)(v_1 + v_2 i) = (u_1 v_1 - u_2 v_2) + (u_1 v_2 + u_2 v_1) i.$$
Man braucht sich nicht einmal diese Formeln zu merken, sondern
nur, da{\ss} die Gesetze der reellen Zahlen erhalten bleiben und
Satz 300 gilt; danach rechnet man einfach so:
$$(u_1 + u_2 i) + (v_1 + v_2 i) = (u_1 + v_1) + (u_2 i + v_2 i) = (u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) i,$$
$$(u_1 + u_2 i) - (v_1 + v_2 i) = (u_1 - v_1) + (u_2 i - v_2 i) = (u_1 - v_1) + (u_2 - v_2) i,$$
$$\displaylines{(u_1 + u_2 i)(v_1 + v_2 i) = (u_1 + u_2 i) v_1 + (u_1 + u_2 i) v_2 i =\cr
= u_1 v_1 + u_2 i v_1 + u_1 v_2 i + u_2 i v_2 i\cr
= u_1 v_1 + u_2 v_1 i + u_1 v_2 i + u_2 v_2 i i\cr
= u_1 v_1 + u_2 v_1 i + u_1 v_2 i + u_2 v_2 (-1)\cr
= (u_1 v_1 - u_2 v_2) + (u_1 v_2 + u_2 v_1)i.\cr}$$

Was die Division betrift, so ergibt die Rechnung, wenn $v_1$
und $v_2$ nicht beide $0$ sind,
$$\displaylines{{u_1 + u_2 i \over v_1 + v_2 i} = {(u_1 + u_2 i)(v_1 - v_2 i) \over (v_1 + v_2 i)(v_1 - v_2 i)} = {(u_1 v_1 + u_2 v_2) + \bigl(-(u_1 v_2) + u_2 v_1\bigr) i \over (v_1 v_1 + v_2 v_2) + \bigl(-(v_1 v_2) + v_2 v_1\bigr) i}\cr
= {(u_1 v_1 + u_2 v_2) + \bigl(-(u_1 v_2) + u_2 v_1\bigr) i \over v_1 v_1 + v_2 v_2} = {u_1 v_1 + u_2 v_2 \over v_1 v_1 + v_2 v_2} + {-(u_1 v_2) + u_2 v_1 \over v_1 v_1 + v_2 v_2} i\cr}$$
als kanonische Darstellung im Sinne des Satzes 301.
\vfill\eject


\bye
